Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading
  1. Planimetria

    Uczniowie

    W 1967 roku szkoła podstawowa wypuściła po raz pierwszy absolwentów ośmioletniej podstawówki (tak, kiedyś też były reformy szkolne). W ogólnym reformatorskim zamieszaniu można było zrobić coś nietypowego, więc Wydział Matematyki i Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego uruchomił uniwersyteckie klasy matematyczno-fizyczne w liceum im. Klementa Gottwalda (w latach 1906-50 oraz po 1990 roku Stanisława Staszica) - pretekst był prosty: pierwszym dyrektorem tego liceum był Jan Zydler, znakomity nauczyciel matematyki i autor do dziś niezapomnianych podręczników geometrii.

  2. Historia i filozofia nauk

    Stabilnie czy dynamicznie?

    Gdy w połowie XIX wieku w matematyce pojawiły się dziwne twory, w rodzaju funkcji ciągłych odcinka [0; 1] na odcinek |[0;1] w żadnym przedziale niemonotonicznych, czy zadań mających jednakowo poprawne, choć sprzeczne rozwiązania, jak paradoks Bertranda, potrzeba nadania matematyce jakiegoś jednoznacznego porządku, znalezienia odpowiedzi na pytanie, jak można, a jak nie należy matematyki uprawiać, stała się nagląca.

  3. obrazek

    Felix Nadar

    Adam Jerzy Czartoryski
    (1770-1861)

    Felix Nadar

    Adam Jerzy Czartoryski
    (1770-1861)

    Historia i filozofia nauk

    Kongres Wiedeński i Uniwersytet Warszawski

    Gloryfikowany przez nasz hymn Napoleon wystawiał Polaków na ciężkie próby, zdradzając nas i używając do tłumienia powstania na Santo Domingo, czy do podbijania Hiszpanii - znamy to choćby z Popiołów Żeromskiego - ale dziś mamy dla niego kult, jak Rzecki w Lalce Prusa.

  4. obrazek

    Euklides
    (ok.365 p.n.e.-ok. 300 p.n.e.)

    Euklides
    (ok.365 p.n.e.-ok. 300 p.n.e.)

    Geometrie nieeuklidesowe

    Inne światy, inne geometrie

    Geometrię szkolną nazywamy euklidesową, bo jej pierwsze aksjomaty zostały podane w Elementach Euklidesa (około -300). Wśród nich wyróżniał się aksjomat mówiący o tym, że na płaszczyźnie przez punkt poza prostą można poprowadzić tylko jedną prostą z nią rozłączną. Zasugerowana przez Proklosa (V wiek) możliwość wyprowadzenia tego aksjomatu z pozostałych przez następne 1300 lat drażniła ambicje praktycznie wszystkich matematyków, co owocowało dowodami błędnymi (bo opartymi na przesłankach, które same nie miały dowodów).

  5. obrazek

    akwarela Zygmunta Vogla, 1785 r.

    Szkoła Rycerska

    akwarela Zygmunta Vogla, 1785 r.

    Szkoła Rycerska

    Różności

    Szkoła Rycerska i Komisja Edukacji Narodowej

    Druga połowa XVIII wieku nie pozostawiała złudzeń: Rzeczpospolita upada. Stąd determinacja tych, którzy chcieli ten proces odwrócić. Adam Kazimierz Czartoryski w wieku 29 lat zaczął wydawać gazetę, Monitor (ukazujący się dwa razy w tygodniu!), rok później został marszałkiem Sejmu, a cztery lata później, w 1768 roku - Komendantem Szkoły Rycerskiej. Szkoła ta przez 30 lat istnienia wypuściła 650 absolwentów, takich jak Kościuszko, Pułaski, Kniaziewicz, Zajączek, Sowiński. Mieściła się w Pałacu Kazimierzowskim, gdzie dziś jest Rektorat UW. To miała być kuźnia kadr, które Polskę uratują.

  6. Stereometria Drobiazgi

    Brzydka prawda

    Wielościan wypukły, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, może mieć ściany trójkątne, czworokątne lub pięciokątne. Ostatnie dwa przypadki realizują się tylko w postaci sześcianu i dwunastościanu...

  7. Teoria grafów Drobiazgi

    Cykle Hamiltona na wielościanach foremnych

    Zadanie 44 w książce 100 zadań Hugona Steinhausa dotyczy zamkniętych dróg po krawędziach wielościanu foremnego, które przechodzą dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek, czyli złożonych z krawędzi cykli Hamiltona. Chodzi o to, aby znaleźć wszystkie kształty takich cykli i policzyć, ile ich jest (z dokładnością do położenia) dla każdego wielościanu foremnego.

  8. obrazek

    Planimetria

    Siedmiokąta foremnego nie można skonstruować cyrklem i linijką

    ...a pięciokąt foremny można. Obok pokazana jest konstrukcja dziesięciokąta foremnego - kolorowy odcinek ma długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w większy okrąg, a więc biorąc co drugi z wierzchołków takiego dziesięciokąta, otrzymamy pięciokąt foremny. Konstrukcja jest - jak widać - bardzo prosta. Ma tylko tę wadę, że nie wskazuje, jak konstruować inne wielokąty foremne.

  9. obrazek

    Stereometria

    Wypełniane przestrzeni

    Problem wypełnienia przestrzeni bez luk jednakowymi wielościanami okazuje się wcale nie tak prosty, jak na pierwszy rzut oka można oczekiwać. Spośród pięciu wielościanów platońskich tylko jeden nadaje się do tego. Oczywiście, jest to sześcian...

  10. Stereometria

    Jakich wielościanów nie ma, a jakie są?

    Kubuś Fatalista, bohater książki Denisa Diderota, spotkał pewnego razu rozpaczliwie płaczące dziecko. Na pytanie, co mu się stało, odpowiedziało, że kazano mu powiedzieć A. Cóż w tym złego? - dopytywał się Kubuś. - Bo jak powiem A, to każą mi powiedzieć B - poskarżył się malec.

  11. Geometria Drobiazgi

    Nawijamy, odwijamy

    Jaką długość ma linia śrubowa owijająca dwukrotnie walec o promieniu 1 i wysokości 4, tak jak widać na obrazku? Oczywiście, | -2--- 4 π 1. Aby przekonać się, że rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na obrazek z prawej - jeśli nawiniemy go na walec, to otrzymamy obrazek z lewej.

  12. Geometria

    Dowód w stylu greckim

    Rozpowszechnione jest przeświadczenie, że znaczna część dowodów geometrycznych prowadzonych przez mędrców Złotego Wieku Grecji, a więc czasów po zwycięskich wojnach perskich i kojarzących się nam np. z Peryklesem, wyglądała tak, iż był to rysunek ze słownym komentarzem: Patrz. Niezależnie od podziwu dla intelektualnej estetyki takich dowodów podejrzewamy, że dotyczyły one problemów mało skomplikowanych, rozumowań wymagających jednego kroku myślowego.

  13. obrazek

    Geometria

    Próżny trud

    Jak wszystkim wiadomo, około -300 roku dyrektor Biblioteki Aleksandryjskiej imieniem Euklides napisał dzieło, które jest znane pod późniejszym łacińskim tytułem Elementy. W dziele tym z następujących pięciu postulatów wyprowadził całą geometrię (tę nauczaną w szkole i zwaną euklidesową) i całą arytmetykę.

  14. Analiza

    Gdzie tam znaczy też z powrotem

    Każda ptaszyna swym własnym głosem Pana Boga chwali. Tym przysłowiem odpowiedziałem podczas obrony pracy doktorskiej na pytanie Profesora Andrzeja Mostowskiego, czemu zbudowałem aksjomatykę geometrii eliptycznej, podczas gdy można tę geometrię uprawiać analitycznie (czyli rachunkowo)...

  15. obrazek

    Planimetria

    Spróbuj zostać Archimedesem

    Jeden ze sposobów obliczenia pola odcinka paraboli, czyli ograniczonej spośród części, na jakie dzieli płaszczyznę parabola i jej cięciwa, zaproponowany przez Archimedesa, jest następujący: przez środek cięciwy (nazwijmy ją math ) prowadzimy prostą równoległą do osi paraboli i uzyskujemy w przecięciu z parabolą punkt math . Pole odcinka paraboli to math pola trójkąta math Dlaczego tak jest i jak on na to wpadł?

  16. Teoria liczb Drobiazgi

    Choć proste to nieproste

    Starożytni Egipcjanie sprzed 4000 lat uznawali tylko ułamki proste, czyli takie, które w liczniku miały jedynkę. Oczywiście, były też inne ułamki, ale o nich uczeni mówić nie chcieli – przedstawiali je jako sumę ułamków prostych. Nie byłoby w tym niczego nadzwyczajnego, gdyby nie pretensjonalne wymaganie, aby w owej sumie każdy ułamek był inny.

  17. Stereometria Drobiazgi

    Piłka w puszce

    Piłki tenisowe na ogół pakowane są w rurkę po kilka sztuk. Wyobraźmy sobie piłki tak cenne, że pakowane są każda oddzielnie. Takie opakowanie to z matematycznego punktu widzenia walec...

  18. Planimetria Mała Delta

    Samą linijką można nakreślić okrąg...

    ...jeśli ma się 5 jego punktów. No, może trochę przesadziłem... Okręgu tak dosłownie nakreślić nie można, ale można narysować jego kolejnych kilka punktów, nawet gdy te kilka to np. 100 -- oczywiście, im większa będzie to liczba, tym dłużej będzie to trwało, bo rysować będziemy te punkty kolejno, po jednym.

  19. obrazek

    Okładka Delty 1/1974

    Okładka Delty 1/1974

    Różności

    Czterdzieści lat minęło

    Ten numer zamyka czterdzieści lat miesięcznika Delta. Numer próbny został wydrukowany 8 grudnia 1973 roku w nakładzie 50 egzemplarzy, a równo z Nowym Rokiem został wydany w nakładzie 30 tys. identyczny z nim numer 1. Wiąże się z tym anegdotka: nie uwzględniliśmy ingerencji cenzury, bo tak się z niej śmialiśmy, że zapomnieliśmy to zrobić – chodziło o to, by nie ujawniać wielkości obszaru Instytutu Fizyki Jądrowej w Krakowie.

  20. Planimetria

    Twierdzenie Morleya

    Każdy wie, co to są dwusieczne kątów – tutaj będziemy mówili o trójsiecznych, czyli prostych dzielących kąt (i jego kąt wierzchołkowy) na trzy równe częsci. Zatem trójsieczne są dwie. Mają one dziwną własność zwaną twierdzeniem Morleya.

  21. Historia i filozofia nauk

    Tako rzecze Arystoteles

    W -V wieku Parmenides stworzył szkołę filozoficzną, która postawiła sobie za cel zbadanie, jak ma się rozpowszechniona w tamtych czasach opinia, iż matematyka głosi najgłębszą prawdę o świecie, do rzeczywistości. Bez trudu dało się bowiem zauważyć, że pojęcia matematyki – taka, na przykład, prosta, albo – jeszcze bardziej – punkt, nijakich materialnych odpowiedników nie mają. Obiekt materialny można dzielić na mniejsze kawałki, ale przecież w końcu gdzieś będziemy musieli się zatrzymać, choćby z tego powodu, że nie można w skończonym czasie wykonać nieskończenie wielu czynności. Tymczasem matematyka pozwala choćby na odcinanie od odcinka stale połowy tego, co jeszcze zostało do dyspozycji, bez końca, a nawet pozwala stwierdzić, że w końcu z tego odcinka nic nie zostanie, nawet koniec.

  22. Geometria

    Słowa, słowa, słowa...

    Słowa, którymi będziemy się zajmowali, będą napisami złożonymi z liter jednego lub kilku zbiorów (na początek przyjmijmy, że zbiory są dwa – jeden zawiera małe litery łacińskie, a drugi duże) o tej własności, że dwie jednakowe litery umieszczone po kolei będą znikały. Napis, w którym wszystko znikło (czasem i taki jest potrzebny), będzie oznaczany 1.

  23. obrazek

    Geometria Co to jest?

    Dziewięć twarzy płaszczyzny rzutowej

    W Delcie 6/2011 artykuł Marii Donten-Bury o płaszczyźnie rzutowej został poprzedzony przedstawieniem sześciu jej (płaszczyzny, nie Marysi) postaci, pod jakimi daje się nam ona zaobserwować. Wobec tego, że postacie te są bardzo różnorodne, nasunąć się może wątpliwość, czy faktycznie wszystkie są wcieleniami tego samego matematycznego obiektu. Poniżej jest przedstawiony sposób, jak tę wątpliwość można rozstrzygnąć.

  24. Logika

    Logika, sens i wątpliwości

    Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.

  25. Stereometria Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

    Wszystko może się przydać

    Panuje przekonanie, że w nauczaniu matematyki powinno się eksponować fakt, że ma ona zastosowania. Gdy przyjrzeć się podręcznikom, a zwłaszcza testom kwalifikacyjnym, trudno oprzeć się wrażeniu, że są to rzeczy w stylu mierzenia wysokości piramidy za pomocą długości jej cienia i twierdzenia Talesa, lub też zadań w stylu: jeśli dwóch robotników kopie rów w ciągu 2 godzin, to ilu ich potrzeba, aby ten rów wykopać w 15 sekund? (odpowiedź: 1440).

  26. Historia i filozofia nauk Drobiazgi

    My, ludzie

    Jest taki zdumiewający moment w dziejach świata, gdy my, ludzie, uznaliśmy za niezbędne udzielenie odpowiedzi na pytanie, co właściwie wyróżnia nas spośród wszelkich żywych stworzeń. Było to w wieku math  VI. Owa niezbędność pojawiła się we wszystkich stronach świata, we wszystkich kulturach i – co jeszcze dziwniejsze, wobec braku możliwości bezpośredniego, a choćby nawet sensownie szybkiego kontaktu – pojawiła się jednocześnie.

  27. Geometrie nieeuklidesowe

    W rozumowaniach był błąd

    W poprzednim numerze Delty przedstawiłem trzy dowody V postulatu Euklidesa. Dla wszystkich Czytelników było jasne, że zawierają one błędy. Fakt, że mimo to każdy z nich przez pewien czas był uznany za poprawny, wskazuje na ogromny kłopot, jakim dla myślicieli – już niekoniecznie matematyków – było przyjęcie do wiadomości, że mogą istnieć dwie wykluczające się, ale poprawne, a więc w szczególności niesprzeczne teorie opisujące ten sam obiekt, w tym przypadku przestrzeń. A przecież przestrzeń, w której „odbywa się” Wszechświat, jest jedna.

  28. Planimetria

    Dowody V postulatu Euklidesa

    Oczywiście, V postulatu Euklidesa nie da się dowieść na podstawie poprzednich czterech. Niemniej jednak praktycznie każdy znaczący matematyk od V do XIX wieku taki dowód przeprowadził i dopiero jego koledzy wskazywali, w którym miejscu rozumowania użył przesłanki z czterech początkowych postulatów niewynikającej...

  29. Gry, zagadki, paradoksy Drobiazgi

    Świat idzie naprzód

    W Delcie 3/1979 zamieściliśmy największy znany wówczas kwadrat magiczny złożony z różnych liczb pierwszych – było ich 169. Co więcej, był to kwadrat „cebulkowy”. A dziś – proszę: istnieje już „cebulkowy” kwadrat magiczny aż o trzy większy, złożony zatem z dwustu pięćdziesięciu sześciu liczb pierwszych. I jak tu nie wierzyć w postęp!

  30. Planimetria

    Co mogą nam dać ciężary i wypory?

    W Delcie 6/2011 Jerzy Zabczyk przytoczył anegdotę o Feynmanie w związku z pewnym geometrycznym zadaniem efektownie umieszczonym przez Hugona Steinhausa w Kalejdoskopie matematycznym (o czym Feynman nie wiedział) i zaproponował Czytelnikom atrakcyjne zadania.

  31. Planimetria Mała Delta

    O sadzeniu drzew

    Girard DESARGUES, matematyk, architekt ogrodów, doradca kardynała Richelieu (a więc rówieśnik Atosa, Portosa i Aramisa) postawił kolegom ogrodnikom pytanie: Jak posadzić 10 drzew w dziesięciu rzędach po 3 drzewa w każdym rzędzie?

  32. Historia i filozofia nauk Drobiazgi

    Powiadają, że...

    ...dwaj najmłodsi uczniowie Galileusza, Bonaventura Cavalieri i Evangelista Torricelli, byli ludźmi do tego stopnia pogodnymi i pełnymi poczucia humoru, że nawet podczas pracy naukowej robili sobie wzajemnie zaawansowane psikusy ku uciesze znajomych.

  33. Różności

    Wstęgi na glinie

    Biolodzy zapewne mają rozmaite sposoby na umiejscowienie w czasie momentu, gdy nasi przodkowie dosłużyli się miana CZŁOWIEK i pewnie kłócą się o to, które kryteria powinny być uznane za najistotniejsze. Gdy jednak sięgnąć do historii kultury, moment taki jest dość zgodnie nazywany i dyskutować można tylko na temat jego kalendarzowego usytuowania. Tym momentem jest przełom neolityczny.