Przeskocz do treści

pierwsza strona

Loading

Rezultaty

o artykule ...

  • Publikacja elektroniczna: 7 listopada 2016

Poniżej przedstawiamy rezultaty niektórych zwycięskich prac.

  • Zbigniew Jelonek, Pewna analogia, 1980
    Stożek to zbiór prostych mających wspólny punkt (lub kierunek) i przecinających pewną krzywą stopnia 2; stożek dualny to zbiór płaszczyzn mających wspólny punkt (lub kierunek) i stycznych do pewnej krzywej stopnia 2. Współstożkowość oznacza należenie do tego samego stożka. W pracy podane są analityczne warunki na to, by szóstka prostych (płaszczyzn) była współstożkowa. Wynika z tego wiele geometrycznych faktów, np.: elipsoida jest sferą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 6 płaszczyzn współstożkowych przechodzących przez jej środek i wycinających z niej przekroje o równych polach.
  • Jarosław Wróblewski, Wokół kongruencji w pierścieniu liczb algebraicznych całkowitych, 1981
    Liczby algebraiczne całkowite to pierwiastki wielomianów  n n−1 x +cn−1x + ⋅⋅⋅+ c1x + c0,

    gdzie ci są całkowite; zbiór tych liczb oznaczmy przez A. Zbiór liczb postaci  √ -- n√ -- |a1p + a2 p +⋅⋅⋅+ an p, gdzie ai są całkowite, oznaczmy przez Q. Dla |a∈ A zapiszemy a ∈ (b1,...,bn) modp, gdy |(a− b1)⋅... ⋅⋅⋅⋅(a −bn) ∈ Q. Główny wynik pracy to twierdzenie jeśli a1,a2 ∈A oraz a1 ∈(b1,...,bn) modp i a2 ∈(d1,...,dn) modp, to (1) a1 +a2 ∈ (bi + d j) modp ( bi + d j to układ złożony ze wszystkich możliwych sum tej postaci dla 1 ⩽i, j ⩽n ); (2) |a1⋅a2∈ (bi⋅d j) modp ; co pociąga za sobą (3) dla dowolnego wielomianu W(x, y) o współczynnikach całkowitych W(a1,a2) ∈W (bi,d j) modp. Wynika z tego wiele konsekwencji, w szczególności np. liczba  √ -- √ -- 1980 √ -- √ -- 1980 |( 6+ 19) + ( 6− 19) jest liczbą całkowitą, której ostatnią cyfrą jest 2.

  • Mariusz Skałba, O pewnym problemie z elementarnej teorii liczb, 1982
    W pracy znajduje się ulepszenie dowodu Andrzeja Schinzla twierdzenia, że 7 jest jedyną liczbą pierwszą spełniającą, przy naturalnych |x i y, równanie p = (2x2 − 1)/7 = 2y2− 1

    (patrz W. Sierpiński, Teoria liczb cz. II) oraz uogólnienie tego faktu, a mianowicie Dla |i = 1,2 trójmiany kwadratowe  fi(x) mają współczynniki wymierne; ∆i to ich wyróżniki, a |Ai to współczynniki przy |x2. Jeśli ∆ 1∆ 2 jest kwadratem liczby wymiernej oraz A1∆ 2− A2∆1≠ 0, to istnieje co najwyżej skończenie wiele takich liczb pierwszych |p, że p = f1(x) = f2(y) dla pewnych |x,y całkowitych.
    Ponadto podany został też algorytm znajdowania wszystkich tych liczb pierwszych.

  • Michał Wojciechowski, O pewnym rozkładzie figur środkowo symetrycznych, 1984
    Praca powstała z okazji zamieszczonego w Wiadomościach Matematycznych t. XXIII.I zadania: Udowodnić, że jeżeli F jest płaską figurą ograniczoną, mającą środek symetrii należący do niej, to nie można jej rozłożyć na dwie rozłączne figury przystające.
    Praca zawiera kontrprzykłady, a więc przykłady figur spełniających założenia i dających się rozłożyć na figury przystające, a nawet spełniające dodatkowe warunki, jak spójność czy przeliczalność. W dalszej części pracy jest dowód, że gdy zażądamy, aby części, na które dzielimy, były nie tylko przystające, ale jeszcze środkowo symetryczne, to podział będzie już niemożliwy.
  • Krzysztof Oleszkiewicz, Skacząc po stożkowych, 1989
    Praca poświęcona jest poszukiwaniu punktów kratowych na stożkowych danych równaniami x2− kxy + y2 −k = 0,

    gdzie k jest ustaloną liczbą całkowitą. Podstawowym spostrzeżeniem jest fakt, że gdy punkt |(a,b) leży na tej stożkowej, to leżą na niej również punkty |(kb − a,b) i |(a,ka − b), co - gdy jeden z punktów jest kratowy - pozwala znajdować dalsze takie punkty. Wszystkie znalezione przez powtarzanie tego spostrzeżenia punkty to trajektoria punktu |(a,b). Uzyskany wynik jest następujący:

    • | gdy  k ⩽ 2, punkty kratowe istnieją tylko dla |k = 0 (jeden, (0,0) ) i dla k = 1 (cztery, (0,1),(1,0), (0,−1),(−1,0) ).
    • | gdy k ≀3, punkty kratowe istnieją tylko dla k będącego kwadratem liczby naturalnej i wtedy każdy z nich należy do trajektorii pewnego z punktów  √ -- √ -- √ -- √ -- |(0, k),( k,0),(0,− k), (− k,0).
    • | gdy k ⩽ −3, punkty kratowe istnieją tylko dla k = −5 ; są to wówczas punkty z wszystkich trajektorii następujących ośmiu punktów |(1,− 2),(−1,2),(−2,1),(2,−1),(1,−3),(−1,3), |(−3,1),(3,−1).
  • Marek Pycia, Pewne nierówności funkcyjne, 1992
    Nierówność funkcyjna to problem znalezienia wszystkich funkcji, które spełniają dla wszystkich swoich argumentów daną nierówność. W pracy rozważana była nierówność α f (s) + β f(t) ⩽ f (as+ bt),

    gdzie  f (0,∞ ) ⟨0,∞ ), stałe α ,β ,a,b są dodatnie i a < 1 < b. Było to uogólnienie znanego (od niedawna) wyniku dla α = a i β = b. Podstawowy rezultat pracy to stwierdzenie: jeśli ta nierówność ma rozwiązanie niezerowe, to ma rozwiązanie potęgowe. Pozwoliło to na opisanie klas rozwiązań tej, jak też przeciwnej nierówności.