Delta mi!

Dany jest okrąg...

W IV wieku przed naszą erą za sprawą Platona panowało powszechne przekonanie, że sfera niebieska - jako doskonała - dopuszcza jedynie doskonałe ruchy planet, jedynych ruchomych obiektów na niej. Ruchy doskonałe to ruchy jednostajne i odbywające się po doskonałych trajektoriach. Doskonała trajektoria to taka, która może ślizgać się po sobie - na sferze tę własność mają tylko okręgi. Powstawał więc problem, jak wytłumaczyć nieregularności ruchu planet na niebie, a w szczególności powstawanie pętli, o jakich jest mowa w artykule Tomasza Kwasta.

Gdy na lustrzaną sferę pada promień światła, odbija się on tak, że kąt między nim a przedłużeniem promienia sfery przechodzącego przez punkt, w którym promień pada, jest równy kątowi między tym przedłużeniem a promieniem odbitym, przy czym wszystko odbywa się w jednej płaszczyźnie wyznaczonej przez padający promień i środek sfery. Geometrycznie sytuacja jest więc dwuwymiarowa.

Zapewne każdy zetknął się z informacją, że planety kreślą na niebie tajemnicze pętle. Spodziewamy się, że nie dzieje się to "w oczach", bo takie zjawiska toczą się dość majestatycznie. Jeżeli jednak ktoś ma cierpliwość, to owe pętle może osobiście zaobserwować.

Prawie każdy wielościan ma talię (to wśród nich jest nawet częstsze niż u ludzi!), czyli pewien jego płaski przekrój ma obwód mniejszy od sąsiednich (dokładniej: niewielka zmiana płaszczyzny tnącej daje wielokąt o większym obwodzie - a bardziej po ludzku: nałożona w takim miejscu gumka recepturka nie zsunie się). Dla sześcianu taką talią jest jego przekrój będący sześciokątem foremnym (narysuj ją!).

to nie tylko Konrad Wallenrod, lecz także łamigłówka popularna wśród litewskich drwali. Redakcja Delty ma wystrugane przez jednego z nich sześć drewienek, takich jak na rysunku, z których można złożyć widoczny niżej krzyżak, choć nie jest to zadanie łatwe.

W tym artykule chcemy zaprezentować pewną technikę dowodową zwaną interpretacją kombinatoryczną. Metoda ta pokazana będzie w działaniu: podajemy dwa zadania wraz z rozwiązaniami, które są ilustracją tematu.

Małe Twierdzenie Fermata ma również taki dowód...

Twierdzenie Pascala o równomiernym ciśnieniu gazu na ścianki naczynia pociąga za sobą twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie, czyli twierdzenie kosinusów.

Pętle na rysunku 1 przedstawiają ten sam sznurek...

Nigdy już się nie spotkamy - rzuciło Neutrino do Kwantu wyjątkowo twardego promieniowania gamma - i od razu uciekło ze Słońca...

O zadaniu 16. z książki 100 zadań Steinhausa.

Wielościan wypukły, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, może mieć ściany trójkątne, czworokątne lub pięciokątne. Ostatnie dwa przypadki realizują się tylko w postaci sześcianu i dwunastościanu...

Gwiazdka foremna to łamana zamknięta, wpisana w okrąg i złożona z jednakowej długości cięciw, ale niebędąca wielokątem foremnym. Nie trzeba długo się zastanawiać, by stwierdzić, że odcinki takich łamanych muszą się przecinać.

W teorii prawdopodobieństwa mówimy o modelu klasycznym, gdy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym i wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne...

Dana jest -elementowa tablica którą chcemy odwrócić, czyli spowodować, że jej elementy będą zapisane w kolejności

Są trzy symetryczne monety...

Zadanie 44 w książce 100 zadań Hugona Steinhausa dotyczy zamkniętych dróg po krawędziach wielościanu foremnego, które przechodzą dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek, czyli złożonych z krawędzi cykli Hamiltona. Chodzi o to, aby znaleźć wszystkie kształty takich cykli i policzyć, ile ich jest (z dokładnością do położenia) dla każdego wielościanu foremnego.

Jaką długość ma linia śrubowa owijająca dwukrotnie walec o promieniu 1 i wysokości 4, tak jak widać na obrazku? Oczywiście, Aby przekonać się, że rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na obrazek z prawej - jeśli nawiniemy go na walec, to otrzymamy obrazek z lewej.

James Bond jest ścigany przez niegodziwego doktora No. Samochód Bonda rozwija maksymalną prędkość ale samochód doktora No rozwija nieco większą prędkość James Bond w szkole dla szpiegów słyszał o zasadzie zachowania pędu i postanawia ją wykorzystać - zaczyna strzelać do przeciwnika...

Starożytni Egipcjanie sprzed 4000 lat uznawali tylko ułamki proste, czyli takie, które w liczniku miały jedynkę. Oczywiście, były też inne ułamki, ale o nich uczeni mówić nie chcieli – przedstawiali je jako sumę ułamków prostych. Nie byłoby w tym niczego nadzwyczajnego, gdyby nie pretensjonalne wymaganie, aby w owej sumie każdy ułamek był inny.

Kultura matematyczna jest kluczowym aspektem ogólnoludzkiej kultury. Wykazano, że wiele gatunków zwierząt (badano głównie ssaki i ptaki) potrafi liczyć, tzn. prawidłowo oceniać liczebność zbiorów skończonych. Oczywiście, precyzja takiej oceny maleje wraz z tą liczebnością (np. przeciętni ludzie radzą sobie z takim liczeniem do około siedmiu).

Jeśli się weźmie do ręki jajo i ściśnie palcami za „ostry” i „tępy” czubek, wyczuje się opór. Jest on dość spory, jak na niewielką grubość skorupki jaja. Przeciętne jajo wytrzymuje bez pękania nacisk odpowiadający ciężarowi dwuipółkilogramowego ciała. Udaje się dzięki temu prosta sztuczka, która spodobać się może wszystkim, którzy marzą o innym zastosowaniu nabiału niż produkcja wielojajecznych bab, serników i sękaczy na święta...

Piłki tenisowe na ogół pakowane są w rurkę po kilka sztuk. Wyobraźmy sobie piłki tak cenne, że pakowane są każda oddzielnie. Takie opakowanie to z matematycznego punktu widzenia walec...

W prezencie od znajomych dostałem zegar (rys. 1). Powiesiłem go sobie na ścianie i zacząłem wymyślać... inne zegary.

Materiały porowate robią coraz większą karierę. Jednym z bardziej popularnych haseł jest MOF (Metal-Organic Framework), czyli struktura(y) metaliczno-organiczna. Wiele zespołów zajmuje się twórczością w tej dziedzinie. Dosłownie. Tworzone są nowe materiały z nadzieją uzyskania filtrów, schowków na wodór, ditlenek węgla, radon.

Została popełniona oryginalna publikacja. Autorzy przekonują w niej, że kinematograficzna prezentacja wyników jest metodą naukową.

Od dłuższego czasu słyszymy o wspaniałej przyszłości komputerów kwantowych, a i naszej przy okazji. Sytuacja wydaje się podobna do fuzji termojądrowej, która od pół wieku za pół wieku ma rozwiązać nasze problemy energetyczne.

Wraz z wynalezieniem meta-materiałów o ujemnym współczynniku załamania ukrywanie się pod czapką-niewidką (a raczej peleryną-niewidką) z bajek, fantastyki czy magii przechodzi do rzeczywistości. Żyjemy jednak w czasoprzestrzeni, więc można pomyśleć o ukryciu się również w czasie, a nie tylko w przestrzeni. Chodziłoby np. o ukrycie procesu przesyłania (przetwarzania) informacji. Jak można by było to zrealizować?

Jest taki zdumiewający moment w dziejach świata, gdy my, ludzie, uznaliśmy za niezbędne udzielenie odpowiedzi na pytanie, co właściwie wyróżnia nas spośród wszelkich żywych stworzeń. Było to w wieku  VI. Owa niezbędność pojawiła się we wszystkich stronach świata, we wszystkich kulturach i – co jeszcze dziwniejsze, wobec braku możliwości bezpośredniego, a choćby nawet sensownie szybkiego kontaktu – pojawiła się jednocześnie.

Numer Delty poświęcony paradoksom nie byłby kompletny, gdyby nie pojawiła się w nim paradoksalna gra. Przyjrzyjmy się zatem pewnej grze, inspirowanej paradoksami teoriomnogościowymi, które rozkwitły w początkach XX wieku.

Amatorskie obserwacje można z powodzeniem wykonywać, nie przejmując się zanadto skomplikowaną aparaturą – do oszacowania rozmiarów kątowych oraz odległości pomiędzy obiektami na sferze niebieskiej wystarczy sprawna dłoń.

Sprawdź, Czytelniku, czy potrafisz...

Zamieszczony w poprzednim numerze, jako zapowiedź tego numeru, widoczny obok kwadrat magiczny jest dla  (lub ) i   złożony z samych liczb pierwszych.

W Delcie 3/1979 zamieściliśmy największy znany wówczas kwadrat magiczny złożony z różnych liczb pierwszych – było ich 169. Co więcej, był to kwadrat „cebulkowy”. A dziś – proszę: istnieje już „cebulkowy” kwadrat magiczny aż o trzy większy, złożony zatem z dwustu pięćdziesięciu sześciu liczb pierwszych. I jak tu nie wierzyć w postęp!

Sophie Germain (1776–1831), wbrew ówczesnym obyczajom matematyk, fizyk, metalurg i autorka ciekawych szkiców o kulturze, prawie na każdym kroku musiała udowadniać swą wiedzę i bronić swych dokonań przed rzeszami niedowiarków.

Załóżmy, że suma kw adratów trzech liczb naturalnych jest podwojonym kwadratem pewnej liczby naturalnej. Czy możliwe jest, żeby wówczas suma czwartych potęg tych trzech liczb była podwojoną czwartą potęgą tej samej liczby?

Wbrew oczywistemu skojarzeniu nie chodzi tu o Konrada Wallenroda, lecz o układankę, jaką przed wiekami wymyślili litewscy drwale...

Jeśli chcemy rozwiązać układ równań – taki zwykły, dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi – za pomocą komputera, całkiem wygodnie jest użyć metody wyznaczników...

...dwaj najmłodsi uczniowie Galileusza, Bonaventura Cavalieri i Evangelista Torricelli, byli ludźmi do tego stopnia pogodnymi i pełnymi poczucia humoru, że nawet podczas pracy naukowej robili sobie wzajemnie zaawansowane psikusy ku uciesze znajomych.

Zanim coś połkniemy, warto sprawdzić, czy aby to coś nie jest większe od nas...

Myślę, że niemal każdy Czytelnik miał okazję się z nią spotkać. Załóżmy, że mamy dany trójkąt, i wybierzmy dowolny punkt  z okręgu na nim opisanego. Wówczas rzuty prostokątne punktu  na proste zawierające boki danego trójkąta leżą na jednej prostej zwanej prostą Simsona.

Alfametycznych kwadratów poszukuję od ponad trzydziestu lat. Tylko dwa z nich dotąd opublikowałem (p. poniżej). Oba przykłady kwadratów słów trzyliterowych są ilustracją tzw. liczb automorficznych.