Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. obrazek

    Rys. 1

    Rys. 1

    Planimetria

    O ortocentrach i parabolach, a zwłaszcza o twierdzeniu odwrotnym Steinera

    W Delcie 11/2017 został przedstawiony (bez dowodu) fakt, że dla czterech dowolnych prostych (tak dowolnych, że są parami nierównoległe i żadne trzy nie mają punktu wspólnego) ortocentra wyznaczonych przez nie czterech trójkątów leżą na jednej prostej, a okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny. Ponadto parabola, której kierownicą jest prosta zawierająca ortocentra, a ogniskiem punkt wspólny okręgów opisanych jest styczna do czterech wyjściowych prostych (Rys. 1).

  2. Algebra

    Ile jest podprzestrzeni?

    Jaka jest liczba różnych k -elementowych podzbiorów zbioru n -elementowego? Jest to jedno z pierwszych pytań, które zadajemy sobie, zaczynając zajmować się elementarną kombinatoryką. Wkrótce dowiadujemy się, że liczbę tę oznacza się przez (nk) (symbol Newtona), a następnie poznajemy różne metody jej wyznaczania. Wyjściowe pytanie o liczbę podzbiorów przeniesiemy na nieco wyższy poziom abstrakcji, zmieniając w nim kilka pojęć...

  3. obrazek

    Typowe (regularne) poziomice zaznaczone są na szaro, a nietypowe (osobliwe) na kolorowo.

    Typowe (regularne) poziomice zaznaczone są na szaro, a nietypowe (osobliwe) na kolorowo.

    Topologia

    Topologia na Antypodach

    Mapa obok przedstawia rejon Giewontu i Kopy Kondrackiej. Typowa poziomica jest albo pusta (np. nie ma żadnych punktów na wysokości 2500 m), albo składa się z jednej lub więcej składowych, z których każda jest albo zamkniętą pętlą (jak ta wokół Giewontu, 1800 m), albo krzywą o dwóch końcach na brzegu mapy (np. te powyżej dolin Małej Łąki i Kondratowej, 1600 m). Może się jednak zdarzyć, że poziomica jest osobliwa - na wysokości 1894 m mamy izolowany punkt (szczyt Giewontu), a na 1725 m przecięcie w kształcie litery X (Kondracka Przełęcz). Są to jednak pojedyncze przypadki - jak szczyt, przełęcz albo dno kotła - a wszystkie pozostałe poziomice są regularne.

  4. obrazek

    Punkty D, E, F to środki boków, X, X', Y, Y', Z, Z' oznaczają pola.

    Punkty D, E, F to środki boków, X, X', Y, Y', Z, Z' oznaczają pola.

    Planimetria Deltoid

    Środkowe i pola

    Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości i dzieli on każdą z nich w stosunku |2 1; licząc od wierzchołka trójkąta (rys. obok).

  5. obrazek

    Rys. 1 Możliwe ruchy ciemnoszarego pionka

    Rys. 1 Możliwe ruchy ciemnoszarego pionka

    Gry, zagadki, paradoksy

    1, 2, 3, 4, ...

    Conway's Soldiers to jednoosobowa łamigłówka, w której żołnierze (pionki) przedostają się na terytorium wroga i chcą wkroczyć jak najdalej. Na nieskończonej szachownicy, z zaznaczoną "na środku" poziomą granicą, pionki przeskakują jeden nad drugim. Dokładniej: ruch polega na przeskoczeniu pionkiem nad innym znajdującym się na sąsiadującym polu - tylko poziomo lub pionowo - i zdjęciu pionka, który został przeskoczony.

  6. Kryptologia

    Krzywe eliptyczne w kryptografii

    Tak zwana "kryptografia krzywych eliptycznych" to bardzo modne i popularne pojęcie, które rzeczywiście jest ważne, ale - niestety - o którym mówi się najczęściej niezwykle powierzchownie, bez wchodzenia w "detale matematyczne". Niniejszy artykuł próbuje pójść takiemu podejściu pod prąd - chcemy w elementarny sposób objaśnić, o co tak naprawdę chodzi z tymi krzywymi eliptycznymi.

  7. Statystyka Deltoid

    Nieprawdopodobne!

    Zagadnienia związane z prawdopodobieństwem i statystyką bywają zaskakujące i nieintuicyjne. Zdarza się też często, że okazują się one znacznie łatwiejsze niż się na pierwszy rzut oka wydaje.

  8. Rachunek prawdopodobieństwa

    Ostatni Mohikanin

    Zacznijmy od następującego zadania: dwunastu Indian (dla ustalenia uwagi i zgrabności tytułu przyjmijmy, że pochodzą oni z plemienia Mohikanów) siedzi dookoła ogniska i pali fajkę pokoju. Procedura rozpoczyna się rzecz jasna od Wodza, który po zapaleniu rzuca zdobytą od bladych twarzy symetryczną monetą i w zależności od wyniku podaje fajkę na lewo albo na prawo. Kolejny Indianin robi to samo - pali faję, rzuca monetą i podaje dalej (fajkę, nie monetę). Nietrudno uwierzyć, że prędzej czy później fajka wpadnie w ręce ostatniego Indianina, który jej wcześniej nie palił (będzie to tytułowy ostatni Mohikanin)...

  9. Analiza

    Niewąskie nierówności

    Nierówności między średnimi, a w szczególności nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną (oznaczana dalej A-G), to jedne z podstawowych narzędzi dowodowych w arsenale każdego olimpijczyka...

  10. Rachunek prawdopodobieństwa

    W sieci Bayesa

    Rozpoczniemy od żartobliwej, acz pouczającej historyjki: podczas rozmowy dwóch stałych bywalców lokalnego baru jeden z nich mówi do drugiego "Noszenie kaloszy jest bardzo niezdrowe; ilekroć budzę się rano i mam je na nogach, boli mnie głowa"...

  11. obrazek

    Zastosowania matematyki

    Mathematica i fraktale

    Wolfram Mathematica to popularny, nie tylko wśród studentów matematyki, system obliczeniowy, który umożliwia rozwiązywanie zadań z dziedzin, takich jak matematyka, fizyka czy ekonomia. Mamy tu oczywiście rachunek różniczkowy i całkowy, algebrę i statystykę, lecz także najróżniejsze metody z zakresu od matematyki czysto teoretycznej aż po zastosowania w data science, biznesie, inżynierii czy medycynie. Łącznie mamy prawie 5000 wzajemnie zintegrowanych, wbudowanych funkcji. Mathematica używa własnego języka programowania Wolfram Language, który cechuje się wydajnym operowaniem na listach. Zaletą systemu Mathematica jest także przyjazny interfejs z rozbudowaną dokumentacją każdej z funkcji, a także szerokie możliwości interaktywnej wizualizacji obliczeń.

  12. Planimetria Deltoid

    Wysokości czworokąta

    Wysokością czworokąta nazwijmy prostą przechodzącą przez środek jego boku i prostopadłą do boku przeciwległego. W niektórych czworokątach wszystkie cztery wysokości przecinają się w jednym punkcie - ortocentrum czworokąta. Przykładowo kwadrat ma ortocentrum, a romb niebędący kwadratem nie ma.