Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. obrazek

    Georg Cantor (1845-1918)

    Georg Cantor (1845-1918)

    Teoria Mnogości Mała Delta

    Nieskończoność

    Na nieskończoność natrafiono już w starożytności. Nic dziwnego, że była traktowana z podejrzliwością, w końcu wszystko w prawdziwym świecie wydawało się skończone. Bywała źródłem problemów, paradoksów i sporów (na przykład, paradoks Zenona z Elei). W końcu, w drugiej połowie XIX wieku, nieskończoność udało się nieco oswoić (nie mylić z ujarzmić), weszła do kanonu matematyki, a właściwie w jej fundamenty. Owo oswajanie zaczęło się od Georga Cantora...

  2. obrazek

    David Hilbert (1863-1943)

    David Hilbert (1863-1943)

    Teoria Mnogości Mała Delta

    Hotel Hilberta

    Nieskończoność... Co myślisz, gdy słyszysz to słowo? Może myślisz o rozgwieżdżonym niebie? Może próbujesz wyobrazić sobie coś bardzo, ale to bardzo dużego? A może myślisz o ludzkiej wyobraźni i sile naszego umysłu? George Cantor postanowił potraktować nieskończoność jak coś "zwykłego" i po prostu ją zbadał. Pójdziemy jego śladem. Zastanówmy się... Czy każda nieskończoność jest taka sama? Czy też może są większe i mniejsze? Czy wszechświat jest nieskończony? Co to jest nieskończoność? Na wiele pytań dotyczących nieskończoności udzielono wyczerpujących odpowiedzi. Na część z nich odpowiedzi nie są znane. O niektórych wiadomo, że nie da się na nie odpowiedzieć po prostu "tak" lub "nie".

  3. obrazek

    Planimetria Drobiazgi

    Skąd się wzięło siedem?

    Począwszy od Pitagorasa wierzymy, że przyroda działa zgodnie z regułami matematyki. Wobec tego odszukajmy reguły, którymi kierował się siódmaczek (Trientalis) z naszych zagajników, wybierając siedmiokrotną symetrię swoich kwiatów.

  4. Stereometria Deltoid

    Kroimy kostkę

    Podzielmy kostkę na 27 przystających sześcianów (jak w kostce Rubika), a następnie wyrzućmy 7 z nich: ten ze środka oraz środkowy na każdej ze ścian. W kolejnych krokach konstrukcji powtarzajmy powyższą operację dla każdego z pozostających mniejszych sześcianów.

  5. obrazek

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Teoria liczb

    Twierdzenia Fermata różnej wielkości

    Pierre de Fermat był Francuzem i żył w pierwszej połowie XVII wieku (1601-1665). Jako radca prawny praktykował w sądzie w Tuluzie na południu Francji. Naukami ścisłymi, a w szczególności matematyką, interesował się jako amator, ale wniósł potężny wkład do ich rozwoju. Szczególnie spektakularne są jego osiągnięcia w teorii liczb i o nich traktuje niniejszy artykuł. Wszyscy wiedzą, że jest Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF), Małe Twierdzenie Fermata (MTwF) i jeszcze inne twierdzenia Fermata dotyczące teorii liczb - ale które z nich jest największe?

  6. Topologia

    Z geometrii głębokiego interioru: kontinua nierozkładalne

    Jeszcze w r. 1908, pisząc o wspólnym brzegu dwu obszarów płaskich (z których jeden jest ograniczony), Schoenf1ies uważał, że można ten brzeg rozłożyć na dwa luki krzywe (przez luk krzywy rozumiał w tym przypadku kontinuum nie rozcinające płaszczyzny lub, co na jedno tu wychodzi, kontinuum rożne od całego brzegu). Był to błąd, który sprostował Brouwer w pracy Źur Analysis SitlIs"(Mathematische Annalen 68 (1910),422-434)...

  7. Topologia

    Twierdzenie o naszyjniku

    Uczciwi złodzieje powinni umieć się dzielić. Oczywiście, dzielić się łupami z innymi uczciwymi złodziejami, którzy pomagali w dokonaniu kradzieży. Można sobie wyobrazić, że taka uczciwość powoduje czasem pewne trudności, gdyż niektóre precjoza mogą być nieskore do podziału. Dla przykładu...

  8. obrazek

    Rys. 1

    Rys. 1

    Planimetria

    O ortocentrach i parabolach, a zwłaszcza o twierdzeniu odwrotnym Steinera

    W Delcie 11/2017 został przedstawiony (bez dowodu) fakt, że dla czterech dowolnych prostych (tak dowolnych, że są parami nierównoległe i żadne trzy nie mają punktu wspólnego) ortocentra wyznaczonych przez nie czterech trójkątów leżą na jednej prostej, a okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny. Ponadto parabola, której kierownicą jest prosta zawierająca ortocentra, a ogniskiem punkt wspólny okręgów opisanych jest styczna do czterech wyjściowych prostych (Rys. 1).

  9. Algebra

    Ile jest podprzestrzeni?

    Jaka jest liczba różnych k -elementowych podzbiorów zbioru n -elementowego? Jest to jedno z pierwszych pytań, które zadajemy sobie, zaczynając zajmować się elementarną kombinatoryką. Wkrótce dowiadujemy się, że liczbę tę oznacza się przez (nk) (symbol Newtona), a następnie poznajemy różne metody jej wyznaczania. Wyjściowe pytanie o liczbę podzbiorów przeniesiemy na nieco wyższy poziom abstrakcji, zmieniając w nim kilka pojęć...

  10. obrazek

    Typowe (regularne) poziomice zaznaczone są na szaro, a nietypowe (osobliwe) na kolorowo.

    Typowe (regularne) poziomice zaznaczone są na szaro, a nietypowe (osobliwe) na kolorowo.

    Topologia

    Topologia na Antypodach

    Mapa obok przedstawia rejon Giewontu i Kopy Kondrackiej. Typowa poziomica jest albo pusta (np. nie ma żadnych punktów na wysokości 2500 m), albo składa się z jednej lub więcej składowych, z których każda jest albo zamkniętą pętlą (jak ta wokół Giewontu, 1800 m), albo krzywą o dwóch końcach na brzegu mapy (np. te powyżej dolin Małej Łąki i Kondratowej, 1600 m). Może się jednak zdarzyć, że poziomica jest osobliwa - na wysokości 1894 m mamy izolowany punkt (szczyt Giewontu), a na 1725 m przecięcie w kształcie litery X (Kondracka Przełęcz). Są to jednak pojedyncze przypadki - jak szczyt, przełęcz albo dno kotła - a wszystkie pozostałe poziomice są regularne.

  11. obrazek

    Punkty D, E, F to środki boków, X, X', Y, Y', Z, Z' oznaczają pola.

    Punkty D, E, F to środki boków, X, X', Y, Y', Z, Z' oznaczają pola.

    Planimetria Deltoid

    Środkowe i pola

    Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości i dzieli on każdą z nich w stosunku |2 1; licząc od wierzchołka trójkąta (rys. obok).

  12. obrazek

    Rys. 1 Możliwe ruchy ciemnoszarego pionka

    Rys. 1 Możliwe ruchy ciemnoszarego pionka

    Gry, zagadki, paradoksy

    1, 2, 3, 4, ...

    Conway's Soldiers to jednoosobowa łamigłówka, w której żołnierze (pionki) przedostają się na terytorium wroga i chcą wkroczyć jak najdalej. Na nieskończonej szachownicy, z zaznaczoną "na środku" poziomą granicą, pionki przeskakują jeden nad drugim. Dokładniej: ruch polega na przeskoczeniu pionkiem nad innym znajdującym się na sąsiadującym polu - tylko poziomo lub pionowo - i zdjęciu pionka, który został przeskoczony.

  13. Kryptologia

    Krzywe eliptyczne w kryptografii

    Tak zwana "kryptografia krzywych eliptycznych" to bardzo modne i popularne pojęcie, które rzeczywiście jest ważne, ale - niestety - o którym mówi się najczęściej niezwykle powierzchownie, bez wchodzenia w "detale matematyczne". Niniejszy artykuł próbuje pójść takiemu podejściu pod prąd - chcemy w elementarny sposób objaśnić, o co tak naprawdę chodzi z tymi krzywymi eliptycznymi.