Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Analiza

    Nierówności i styczne

    W dowodzeniu nierówności często pomocna bywa tak zwana metoda stycznych. Zdarza się, że wykres funkcji leży nad pewną prostą styczną do niego lub pod taką prostą (wszędzie lub tylko na jakimś przedziale). To oznacza, że możemy oszacować wartości tej funkcji przez wartości funkcji liniowej, której wykresem jest wybrana styczna. Żeby takie oszacowanie doprowadziło do celu, wybrana styczna musi przechodzić przez punkt, dla którego badana nierówność jest równością. Przyjrzymy się kilku przykładom zastosowań tej metody.

  2. Gry, zagadki, paradoksy

    Kropki – kreski

    W dzisiejszym świecie ludzie stają się coraz bardziej leniwi. Chcą osiągnąć zysk w krótkim czasie, bez zbytecznej pracy. Najłatwiejszym sposobem na „zarabianie” są gry. Ale czym właściwie jest gra?

  3. obrazek

    Gry, zagadki, paradoksy Mała Delta

    Wieże Hanoi

    Legenda powiada, że gdy bóg Brahma po raz pierwszy poruszył czas, umieścił na jednej z trzech diamentowych igieł, umocowanych na wspólnej podstawce, 64 złote krążki. Na podstawce spoczywał krążek najszerszy, a nad nim lśniły pozostałe o coraz mniejszych średnicach. Bóg polecił mnichom z górskiej samotni, by bez spoczynku przekładali krążki, tak aby wszystkie znalazły się na drugiej diamentowej igle, z zachowaniem tego samego ułożenia. Gdy zadanie zostanie zakończone, nastąpi koniec pierwszego świata, a na następny, wskrzeszony przez Brahmę, wypadnie czekać wiele tysięcy lat...

  4. Algorytmy Informatyczny kącik olimpijski

    Dwa przyjęcia

    W niedawno wydanej książce W poszukiwaniu wyzwań – zbiorze zadań z konkursów programistycznych – Filip Wolski opisał rozwiązanie zadania Dwa przyjęcia z finału XII Olimpiady Informatycznej. W zadaniu tym występuje math osób, z których niektóre się znają (wiemy które). Chcemy podzielić ten zbiór na dwa rozłączne podzbiory (przyjęcia) w taki sposób, aby zmaksymalizować liczbę osób, które mają parzystą liczbę znajomych na przyjęciu, na którym przebywają...

  5. Analiza

    Nieznane wykresy znanych funkcji

    Zaczęło się od okręgu. Wykres funkcji sinus okazał się okręgiem. Jak to możliwe? Okazuje się, że czasem lekkie odstąpienie od utartego punktu widzenia może nas daleko zaprowadzić. Wystarczy, na przykład, wybrać inny niż prostokątny układ współrzędnych do przedstawiania wykresów funkcji.

  6. Topologia

    William Thurston i hipoteza geometryzacyjna

    Pod koniec lata 2012 roku wśród matematyków rozeszła się wiadomość, że 21 sierpnia zmarł William Thurston, matematyk, laureat medalu Fieldsa. Gdy w październiku 2010 roku zmarł Benoît Mandelbrot, pisały o tym niemal wszystkie gazety, informowały portale społecznościowe. O śmierci Thurstona dowiedzieli się – jak to najczęściej bywa w przypadku matematyków – głównie specjaliści. William Thurston zasłynął z postawienia, pod koniec lat siedemdziesiątych XX stulecia, hipotezy geometryzacyjnej i prób jej udowodnienia. Za te osiągnięcia, a miał jeszcze wiele innych, został uhonorowany medalem Fieldsa na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Warszawie w 1983 roku.

  7. Gry, zagadki, paradoksy Mała Delta

    Numizmatyka dla zachłannych

    Wyobraźmy sobie następującą grę. Na stole w jednym rzędzie leży math monet o różnych nominałach. Dwoje graczy – Ania i Bartek – wykonuje na przemian ruchy, zaczyna Ania. Ruch polega na zabraniu jednej monety z lewego lub prawego końca rzędu. Wynikiem gry jest, oczywiście, suma nominałów monet zgromadzonych przez każdego z graczy. Jak powinna grać Ania, by uzyskać jak największą sumę, jeśli wie ona, że Bartek będzie grał optymalnie (tzn. będzie starał się zmaksymalizować swoją sumę)?

  8. Planimetria

    Wędrówki po okręgu

    Matematycy od wielu lat zajmują się wędrówką po okręgu. Jednym z najbardziej znanych przykładów jest chyba skakanie po nim w określonym kierunku tak, by między kolejnymi punktami, w których się znajdziemy, była określona odległość math (mierzona wzdłuż łuku). Naturalne staje się wówczas pytanie, czy skacząc tak po okręgu, wrócimy kiedykolwiek do punktu wyjścia (widać, że rozwiązanie problemu nie zależy od punktu startowego)? Odpowiedź nasuwa się prędko – powrót nastąpi tylko wówczas, gdy stosunek długości okręgu do liczby math jest liczbą wymierną. Spróbujmy tym razem powędrować w inny sposób, określony geometrycznie.

  9. Stereometria Kącik przestrzenny

    Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny

    Kiedy na płaszczyźnie mamy do czynienia z okręgami, to bardzo często posługujemy się rachunkiem na kątach, ponieważ znamy wiele przydatnych twierdzeń i faktów z tego zakresu. Niestety, trudno o analogiczne narzędzia w przestrzeni. Stanowi to wielki kłopot, gdy zmagamy się z zadaniami o sferach. Istnieje jednak kilka innych technik, skutecznych w zadaniach o okręgach, które działają również w przestrzeni. Są to: potęga punktu, jednokładność oraz inwersja. O tej ostatniej metodzie opowiemy w tym kąciku.

  10. Algebra

    Zera funkcji kwadratowych

    Niejeden maturzysta marzy zapewne, żeby na egzaminie dojrzałości rozwiązywać następujące, z pozoru błahe, zadanie: Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji math Abiturienta nie zraziłaby prawdopodobnie nawet drobna przeszkoda, jaką jest wyraźny brak informacji o dziedzinie funkcji math Z uwagi na wszechobecność zbioru liczb rzeczywistych w obecnym programie nauczania wydaje się, że o żadnych zerach mowy być nie może. Nawet słynna „delta” nie jest tu potrzebna.

  11. Matematyka Deltoid

    Ekstrema

    W wielu problemach matematycznych warto rozważać elementy ekstremalne – największe, najkrótsze, najbliższe... Metoda ta bywa często przydatna w zadaniach dotyczących punktów płaszczyzny lub grafów, czyli punktów łączonych liniami.