Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. obrazek

    Rys. 1 (a), (b), (c). Linie oznaczone strzałkami można rysować tylko zgodnie z ich kierunkiem

    Rys. 1 (a), (b), (c). Linie oznaczone strzałkami można rysować tylko zgodnie z ich kierunkiem

    Teoria grafów Deltoid

    Od rysowania kopert do otwierania sejfów

    Które z rysunków 1 (a), (b), (c) da się narysować bez odrywania ołówka od kartki i bez rysowania ponownie wzdłuż narysowanej już linii?

  2. Geometria

    Jak długa jest kula?

    Wyobraźmy sobie, że wewnątrz trójkąta |ABC umieściliśmy trójkąt |KLM: Wówczas pole |KLM nie przekracza, oczywiście, pola ABC: Czy możemy stwierdzić to samo o obwodach tych trójkątów? W tym przypadku słowo "oczywiście" również wydaje się uprawnione, Czytelnicy Delty z pewnością wiedzą jednak, jak łatwo o nadużycie tej formułki. Szczęśliwie w tej sytuacji nie pociągałoby to za sobą tragicznych konsekwencji, gdyż istotnie, również obwód trójkąta |KLM nie przekracza obwodu trójkąta |ABC:

  3. Teoria liczb

    Dywany Antoniego - nie tylko bajka o pewnych zastosowaniach ciągu Fibonacciego

    Dawno, dawno temu, za drugą górą, za trzecią rzeką żył sobie królewicz Leonardo pochodzący ze szlachetnego rodu Fibonaccich. No, może nie całkiem królewicz, ale piąty syn dyplomaty włoskiego. Może nie całkiem za trzecią rzeką, bo urodził się za ósmą doliną i trzynastoma bagnami, dokładniej w Pizie w 1175 roku. Zatem przynajmniej rzeczywiście żył dawno, dawno temu. Choć w pewnym sensie żyje do dzisiaj w swoich uczniach, bowiem wieść o liczbach Fibonacciego rozeszła się po świecie i szumi o nich niejeden las...

  4. Planimetria

    Uczniowie

    W 1967 roku szkoła podstawowa wypuściła po raz pierwszy absolwentów ośmioletniej podstawówki (tak, kiedyś też były reformy szkolne). W ogólnym reformatorskim zamieszaniu można było zrobić coś nietypowego, więc Wydział Matematyki i Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego uruchomił uniwersyteckie klasy matematyczno-fizyczne w liceum im. Klementa Gottwalda (w latach 1906-50 oraz po 1990 roku Stanisława Staszica) - pretekst był prosty: pierwszym dyrektorem tego liceum był Jan Zydler, znakomity nauczyciel matematyki i autor do dziś niezapomnianych podręczników geometrii.

  5. Teoria liczb

    Kongruencje z królikiem

    Artykuł o powyższym tytule wypada rozpocząć od przypomnienia, czym są kongruencje. Jeśli dwie liczby naturalne |a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę naturalną n (innymi słowy, jeśli |a− b jest podzielne przez n ), uczenie jest stwierdzić, że a i b przystają do siebie modulo n i fakt ten zanotować jako a ≡ b modn: W tym kontekście znaczek " ≡ " (lub raczej to, co on sobą reprezentuje) nazywamy właśnie kongruencją.

  6. Zastosowania matematyki

    Dowody i obliczenia

    Kilka miesięcy temu Marek Kordos zasugerował, że skoro napisałem już w Delcie 12/2014 o tym, czego o równaniu Naviera-Stokesa nie wiadomo, to może napisałbym też artykuł o tym, co z tym równaniem da się zrobić. Tak sformułowana oferta brzmi trochę jak "propozycja nie do odrzucenia", więc nieopatrznie obiecałem taki artykuł dostarczyć. Piszę "nieopatrznie", bo w momencie podjęcia zobowiązania nie uściśliliśmy, co powinienem rozumieć przez stwierdzenie da się zrobić. Czy chodzi o to, co da się udowodnić? Czy raczej o to, co daje się obliczyć?

  7. Teoria liczb

    Prawda o matematykach

    Jakie jest największe miasto na świecie? Czy wirus jest organizmem żywym? Jaki jest najpiękniejszy obraz Tycjana? Są to proste pytania, na które nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Przyczyną jest brak jasno określonych kryteriów. Jedną z cech wyróżniających matematykę spośród innych dziedzin życia i nauki jest to, że każde pojęcie ma swoją precyzyjną definicję. Wydaje się więc, że na każde pytanie matematyczne jest jednoznaczna odpowiedź, którą można formalnie uzasadnić. W konsekwencji, nic nie jest brane "na wiarę". Okazuje się, że nie do końca tak jest!

  8. Planimetria

    Pewne uogólnienie prostej Eulera

    Panuje przekonanie, że w niemodnej obecnie dziedzinie geometrii klasycznej wszystko jest znane i nie pozostało nic do odkrycia. Kłam temu stwierdzeniu zadaje dość ciekawe i (jeszcze) mało znane twierdzenie, które przedstawiamy w niniejszym artykule. Warto zaznaczyć, że środki, jakie posłużyły nam do dowodu, są czysto geometryczne i nie korzystają z narzędzi analitycznych. Aby ułatwić jego zrozumienie, przedstawiamy najpierw pewne pojęcia, definicje i bardziej znane fakty powiązane z tym zagadnieniem.

  9. Algebra

    Najłatwiejsze zadanie?

    Na drugim etapie tegorocznej Olimpiady Matematycznej pojawiło się pewne zadanie. Pojawiło się ono na zawodach z numerem 1 i (zgodnie z oczekiwaniami) okazało się bardzo łatwe - rozwiązała je znacząca większość uczestników. Przedstawimy szkic rozwiązania... x

  10. Teoria liczb

    Bity w szufladkach

    Tak zwana zasada szufladkowa Dirichleta, jakże lubiana przez rozmaite komitety olimpiad matematycznych, łączy w sobie dwie atrakcyjne cechy. Z jednej strony jest tak prosta, że nawet dziecko w przedszkolu jest w stanie ją zrozumieć, z drugiej zaś zawiera zupełnie nieoczywisty element niekonstruktywny. Głosi ona mianowicie, że wkładając do n szuflad więcej niż n przedmiotów, mamy pewność, że w którejś szufladzie będą co najmniej dwa obiekty. W której - nie wiadomo, ale na pewno w którejś.

  11. Stereometria

    Stożki i walce

    Od Archimedesa wiemy, że zdaniem Demokryta stożek stanowi trzecią część walca, ale pierwszy udowodnił to Eudoksos. Znamy ten rezultat z XII Księgi Elementów Euklidesa (Stwierdzenie 10)...

  12. Teoria liczb

    Polowanie na ciągi

    W 1964 roku amerykańsko-brytyjski matematyk Neil Sloane zaczął kolekcjonować znane ciągi liczb całkowitych. Niewinne hobby, motywowane zbadaniem własności kilku ciągów, które pojawiły się podczas pracy nad jego rozprawą doktorską, szybko przerodziło się w duże przedsięwzięcie. W efekcie zostały opublikowane dwie książki A Handbook of Integer Sequences (wydana w roku 1973, zawierająca 2372 ciągi) oraz The Encyclopedia of Integer Sequences (z 1995 roku, 5847 ciągi). W 1996 roku, gdy liczba zgromadzonych ciągów przekroczyła 10 000, dalsze ich przechowywanie w postaci książkowej stało się bardzo niepraktyczne...

  13. Zastosowania matematyki

    Rozbijanie sieci terrorystycznych za pomocą teorii gier

    Mimo licznych działań skierowanych na zwalczanie terroryzmu wiele organizacji terrorystycznych wciąż się powiększa. Aby poradzić sobie z tym problemem, agencje bezpieczeństwa poszukują nowych sposobów analizy pozwalających lepiej zrozumieć strukturę tych organizacji. Jednym z problemów jest zidentyfikowanie kluczowych członków organizacji terrorystycznej przy użyciu informacji jedynie o tym, jak wygląda sieć terrorystyczna - dzięki temu agencje bezpieczeństwa mogłyby skupić swoje ograniczone zasoby na tych jednostkach. W tym artykule omówimy nowe podejście do tego problemu oparte na teorii gier.

  14. Stereometria Deltoid

    Budowle z klocków

    Wiele zadań przestrzennych łatwiej rozwiązać, gdy najpierw zbada się analogiczny problem płaski. Taki dwuwymiarowy odpowiednik czasem sam się narzuca, a czasem jego sformułowanie wymaga pewnej pomysłowości. Poniżej prezentujemy przykłady zadań o przestrzennych klockach, na różne sposoby "spłaszczane".

  15. Algebra Co to jest?

    Liczby zespolone i kwaterniony

    Tak jak problemy praktyczne prowadzą do równań, tak równania prowadzą czasem do nowych rodzajów liczb. Ambitny kmieć z czasów Mieszka I, będący właścicielem trzech krów i marzący o nabyciu (lub zdobyciu) dodatkowych sztuk bydła tak, by stać się szanowanym posiadaczem tuzina krów, musiał niewątpliwie rozwiązywać zadanie matematyczne, które dziś zapisujemy równaniem 3 + x = 12: Gdy zamienimy występujące tu liczby miejscami, otrzymamy równanie x + 12 = 3; które "nie da się rozwiązać": gołym okiem widać, że wśród liczb, za pomocą których zwykliśmy liczyć krowy (czyli liczb naturalnych), nie znajdzie się żadna, która by spełniała to równanie...

  16. Teoria liczb

    Od Prouheta–Tarry'ego–Escotta do Thuego–Morse'a

    Do jednych z najstarszych problemów w historii matematyki należy niewątpliwie zaliczyć równania diofantyczne, czyli równania o dziedzinie rozwiązań ograniczonej do liczb całkowitych. Obecną nazwę zawdzięczają one Diofantosowi, greckiemu matematykowi żyjącemu w III wieku naszej ery w Aleksandrii. Swoje rozważania na temat takich równań Diofantos zawarł w serii ksiąg pod tytułem Arytmetyka. Studiując jedną z nich, Pierre de Fermat - żyjący w XVII wieku francuski prawnik i matematyczny samouk - uznał, że pewne zawarte w niej równanie nie może mieć rozwiązań, o czym raczył poinformować przyszłych czytelników w słynnej uwadze, zamieszczonej na marginesie (czytanej przezeń książki oraz niniejszego artykułu).