Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Planimetria

    Przesuwanie w zadaniach olimpijskich

    W tym artykule omówimy pewną bardzo pożyteczną technikę - tzw. przesuwanie. Polega ona na tym, że niektóre obiekty przesuwamy o pewien wektor i udowadniamy, że teza zadania jest niezmiennicza ze względu na wykonanie tej operacji. Ta metoda pozwala na sprowadzenie rozwiązywanego zadania do znacznie prostszego. Bardzo często ten prostszy przypadek ma jakiś rodzaj symetrii, z której łatwo wywnioskować tezę. Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, odnotujmy dwie proste własności opisanej operacji.

  2. Zastosowania matematyki

    Programowanie liniowe w geometrii

    Proste do zdefiniowania i zrozumienia problemy geometryczne często są trudne do rozwiązania i wymagają użycia skomplikowanych algorytmów. Weźmy, na przykład, zadanie polegające na znalezieniu największego okręgu, który możemy zmieścić w wielokącie. Środek tego okręgu nazywany jest środkiem Czebyszewa. Jeżeli mamy do czynienia z dowolnie wybranym trójkątem bądź wielokątem foremnym, środek Czebyszewa znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych jego dwóch dowolnych kątów. Zagadnienie staje się o wiele bardziej skomplikowane, gdy weźmiemy pod uwagę dowolny, nieregularny wielokąt.

  3. Planimetria

    Wpisywanie

    W geometrii dyskretnej przyjęło się mówić, że wielokąt jest wpisany w inny wielokąt, gdy ma wierzchołki na prostych zawierających boki tego drugiego wielokąta. Od czasu Hilberta tego zwrotu używa się i w przypadku "zwyczajnej" geometrii.

  4. obrazek

    Rys. 1

    Rys. 1

    Planimetria Deltoid

    Łuki Talesa

    Odcinek AB widać z punktu C pod kątem ff , gdy ?ACB = ff: Z twierdzenia o kątach wpisanych wynika, że jeśli punkty C i D leżą na okręgu po tej samej stronie jego cięciwy AB; to widać ją z C i |D pod tym samym kątem (Rys. 1).

  5. obrazek

    Planimetria Deltoid

    Niby nic

    W dowolnym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i dwukrotnie od niego krótszy. Ten prosty fakt okazuje się zadziwiająco przydatny.

  6. Planimetria

    Pewne uogólnienie prostej Eulera

    Panuje przekonanie, że w niemodnej obecnie dziedzinie geometrii klasycznej wszystko jest znane i nie pozostało nic do odkrycia. Kłam temu stwierdzeniu zadaje dość ciekawe i (jeszcze) mało znane twierdzenie, które przedstawiamy w niniejszym artykule. Warto zaznaczyć, że środki, jakie posłużyły nam do dowodu, są czysto geometryczne i nie korzystają z narzędzi analitycznych. Aby ułatwić jego zrozumienie, przedstawiamy najpierw pewne pojęcia, definicje i bardziej znane fakty powiązane z tym zagadnieniem.

  7. obrazek

    Planimetria Deltoid

    Boki trójkąta

    Jeśli w nierówności, którą chcemy uzasadnić, występują długości boków |a;b;c pewnego trójkąta, często przydaje się podstawienie Raviego: |a = y + z; b = z + x; c = x + y ; gdzie x;y ;z > 0: Takie liczby |x;y;z zawsze istnieją, są to bowiem długości odcinków stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt.

  8. Planimetria

    Kwadraty

    Euklides w Elementach pisał: "... kwadrat jest tym, co równoboczne i prostokątne...". Oto kilka niebanalnych obserwacji, w których kwadrat jest jednym z bohaterów.

  9. obrazek

    wikipedia

    Alfred Tarski (1901-1983)

    wikipedia

    Alfred Tarski (1901-1983)

    Planimetria

    O stopniu równoważności wielokątów

    W artykule tym pragnę omówić pewne pojęcia, należące całkowicie do zakresu geometrii elementarnej, a dotąd niemal wcale nie zbadane. Jak wiadomo, dwa wielokąty W i V nazywamy równoważnymi, wyrażając to wzorem: |W ∼V; jezeli dają się one podzielić na jednakową ilość wielokątów odpowiednio przystających...

  10. Planimetria

    Od kwadratu

    Rozpatrzmy dowolny trójkąt oraz cztery kwadraty zbudowane w sposób przedstawiony na rysunku 1. Wówczas zaznaczone kolorem trzy odcinki, łączące odpowiednie wierzchołki kwadratów oraz środek najniższego kwadratu, przecinają się w jednym punkcie.

  11. obrazek

    Planimetria

    Siedmiokąta foremnego nie można skonstruować cyrklem i linijką

    ...a pięciokąt foremny można. Obok pokazana jest konstrukcja dziesięciokąta foremnego - kolorowy odcinek ma długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w większy okrąg, a więc biorąc co drugi z wierzchołków takiego dziesięciokąta, otrzymamy pięciokąt foremny. Konstrukcja jest - jak widać - bardzo prosta. Ma tylko tę wadę, że nie wskazuje, jak konstruować inne wielokąty foremne.