Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading
  1. Teoria liczb

    Dywany Antoniego - nie tylko bajka o pewnych zastosowaniach ciągu Fibonacciego

    Dawno, dawno temu, za drugą górą, za trzecią rzeką żył sobie królewicz Leonardo pochodzący ze szlachetnego rodu Fibonaccich. No, może nie całkiem królewicz, ale piąty syn dyplomaty włoskiego. Może nie całkiem za trzecią rzeką, bo urodził się za ósmą doliną i trzynastoma bagnami, dokładniej w Pizie w 1175 roku. Zatem przynajmniej rzeczywiście żył dawno, dawno temu. Choć w pewnym sensie żyje do dzisiaj w swoich uczniach, bowiem wieść o liczbach Fibonacciego rozeszła się po świecie i szumi o nich niejeden las...

  2. Teoria liczb

    Kongruencje z królikiem

    Artykuł o powyższym tytule wypada rozpocząć od przypomnienia, czym są kongruencje. Jeśli dwie liczby naturalne |a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę naturalną n (innymi słowy, jeśli |a− b jest podzielne przez n ), uczenie jest stwierdzić, że a i b przystają do siebie modulo n i fakt ten zanotować jako a ≡ b modn: W tym kontekście znaczek " ≡ " (lub raczej to, co on sobą reprezentuje) nazywamy właśnie kongruencją.

  3. Teoria liczb

    Prawda o matematykach

    Jakie jest największe miasto na świecie? Czy wirus jest organizmem żywym? Jaki jest najpiękniejszy obraz Tycjana? Są to proste pytania, na które nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Przyczyną jest brak jasno określonych kryteriów. Jedną z cech wyróżniających matematykę spośród innych dziedzin życia i nauki jest to, że każde pojęcie ma swoją precyzyjną definicję. Wydaje się więc, że na każde pytanie matematyczne jest jednoznaczna odpowiedź, którą można formalnie uzasadnić. W konsekwencji, nic nie jest brane "na wiarę". Okazuje się, że nie do końca tak jest!

  4. Algebra

    Najłatwiejsze zadanie?

    Na drugim etapie tegorocznej Olimpiady Matematycznej pojawiło się pewne zadanie. Pojawiło się ono na zawodach z numerem 1 i (zgodnie z oczekiwaniami) okazało się bardzo łatwe - rozwiązała je znacząca większość uczestników. Przedstawimy szkic rozwiązania... x

  5. Teoria liczb

    Bity w szufladkach

    Tak zwana zasada szufladkowa Dirichleta, jakże lubiana przez rozmaite komitety olimpiad matematycznych, łączy w sobie dwie atrakcyjne cechy. Z jednej strony jest tak prosta, że nawet dziecko w przedszkolu jest w stanie ją zrozumieć, z drugiej zaś zawiera zupełnie nieoczywisty element niekonstruktywny. Głosi ona mianowicie, że wkładając do n szuflad więcej niż n przedmiotów, mamy pewność, że w którejś szufladzie będą co najmniej dwa obiekty. W której - nie wiadomo, ale na pewno w którejś.

  6. Teoria liczb

    Polowanie na ciągi

    W 1964 roku amerykańsko-brytyjski matematyk Neil Sloane zaczął kolekcjonować znane ciągi liczb całkowitych. Niewinne hobby, motywowane zbadaniem własności kilku ciągów, które pojawiły się podczas pracy nad jego rozprawą doktorską, szybko przerodziło się w duże przedsięwzięcie. W efekcie zostały opublikowane dwie książki A Handbook of Integer Sequences (wydana w roku 1973, zawierająca 2372 ciągi) oraz The Encyclopedia of Integer Sequences (z 1995 roku, 5847 ciągi). W 1996 roku, gdy liczba zgromadzonych ciągów przekroczyła 10 000, dalsze ich przechowywanie w postaci książkowej stało się bardzo niepraktyczne...

  7. Algebra Co to jest?

    Liczby zespolone i kwaterniony

    Tak jak problemy praktyczne prowadzą do równań, tak równania prowadzą czasem do nowych rodzajów liczb. Ambitny kmieć z czasów Mieszka I, będący właścicielem trzech krów i marzący o nabyciu (lub zdobyciu) dodatkowych sztuk bydła tak, by stać się szanowanym posiadaczem tuzina krów, musiał niewątpliwie rozwiązywać zadanie matematyczne, które dziś zapisujemy równaniem 3 + x = 12: Gdy zamienimy występujące tu liczby miejscami, otrzymamy równanie x + 12 = 3; które "nie da się rozwiązać": gołym okiem widać, że wśród liczb, za pomocą których zwykliśmy liczyć krowy (czyli liczb naturalnych), nie znajdzie się żadna, która by spełniała to równanie...

  8. Teoria liczb

    Od Prouheta–Tarry'ego–Escotta do Thuego–Morse'a

    Do jednych z najstarszych problemów w historii matematyki należy niewątpliwie zaliczyć równania diofantyczne, czyli równania o dziedzinie rozwiązań ograniczonej do liczb całkowitych. Obecną nazwę zawdzięczają one Diofantosowi, greckiemu matematykowi żyjącemu w III wieku naszej ery w Aleksandrii. Swoje rozważania na temat takich równań Diofantos zawarł w serii ksiąg pod tytułem Arytmetyka. Studiując jedną z nich, Pierre de Fermat - żyjący w XVII wieku francuski prawnik i matematyczny samouk - uznał, że pewne zawarte w niej równanie nie może mieć rozwiązań, o czym raczył poinformować przyszłych czytelników w słynnej uwadze, zamieszczonej na marginesie (czytanej przezeń książki oraz niniejszego artykułu).

  9. obrazek

    wikipedia

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    wikipedia

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    Algebra Co to jest?

    Liczby zespolone i kwaterniony

    Rozwiązywanie równań wymuszało poszerzenie zasobu liczb, jakimi się posługiwano. Równanie x + 3 = 12 można było rozwiązać, posługując się najnaturalniejszymi liczbami, zwanymi zresztą naturalne, ale równanie |x + 12 = 3 wymagało rozszerzenia ich zasobu do liczb całkowitych. Wyjście poza obręb równań pierwszego stopnia pokazało, że do rozwiązania np. równania  2 |x − 2 = 0 nie wystarczą nie tylko liczby całkowite, ale nawet wszystkie liczby wymierne, czyli ułamki a/b zbudowane z liczb całkowitych. Aby uzyskać rozwiązanie, do liczb wymiernych trzeba dołączyć nowe liczby, a wśród nich liczbę niewymierną  -- √ 2:

  10. Gry, zagadki, paradoksy Mała Delta

    Matematyka wedyjska

    "Matematyka wedyjska" to umowna nazwa zbioru algorytmów, które można zastosować, aby rozwiązać pewne rachunkowe problemy. Reguły te zostały sformułowane w XX wieku przez hinduskiego duchownego Bharatiego Kriszna Tirtha, który twierdził, że są one zapisane w hinduskich świętych księgach, Wedach.

  11. obrazek

    Teoria liczb

    Na tropie liczb gradowych

    W matematycznym świecie od zawsze znajdowało się mnóstwo tajemnic czekających na odkrycie. Tak zawiłych i zdradzieckich, że tylko szaleńcy mogli w ogóle wyobrazić sobie ich istnienie. Tymi szaleńcami byli nieustraszeni matematycy, którzy już od stuleci (jeżeli nie tysiącleci) szukają, rozwiązują i wyjaśniają zagadki, które większość ludzi już dawno uznawała za beznadziejne przypadki (lub są one tak abstrakcyjne, że w żaden sposób nieosiągalne).

  12. Teoria liczb

    Matematyka jest jedna: Magia liczb

    Dotarliśmy do ostatniej części cyklu, w którym prezentujemy wybrane przykłady zaskakujących relacji pomiędzy różnymi, pozornie bardzo odległymi, obszarami matematyki. Nie wypada jednak zakończyć bez poświęcenia należytej uwagi dziedzinie teorii liczb. Jak bowiem matematyka nazywana jest często królową nauk, tak o teorii liczb mówi się często jako o królowej matematyki. A królowa ma, oczywiście, wielu służących.

  13. Algebra Czegóż dawniej uczono

    Twierdzenie Sturma

    Rozważamy wielomian w o współczynnikach rzeczywistych stopnia n: Wiadomo, że wielomian taki ma n pierwiastków zespolonych; niektóre z nich (czasami wszystkie) są, być może, rzeczywiste. Twierdzenie Sturma pozwala obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu w należących do wybranego przedziału ⟨a;b⟩: Oczywiście, odpowiedź na to pytanie możemy uzyskać, stosując metodę badania funkcji wielomianowej w ; znaną z analizy matematycznej. Metoda Sturma jest czysto algebraiczna, nie stosuje metod analizy matematycznej.