Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Teoria liczb

    Szereg Leibniza i punkty kratowe

    Powiążemy tu wzór Leibniza

    ß- 1- 1- 1- 1- 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 + :::

    z geometrią (pola) i teorią liczb. Tekst jest wyraźnie dłuższy od tego, który jest w książce Hilberta i Cohn-Vossena, bo szkicujemy dowód twierdzenia z teorii liczb, na które autorzy jedynie powołują się. Pozostawimy jednak bez dowodu niektóre bardzo znane twierdzenia z teorii liczb, ze względu na ograniczenia miejsca w miesięczniku. Zaznaczyć warto, że podawany zwykle studentom pierwszego roku dowód jest krótszy, ale zdaniem autora tego tekstu, nie pokazuje związku z geometrią, który jest mocno sugerowany obecnością |ß we wzorze.

  2. obrazek

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Teoria liczb

    Twierdzenia Fermata różnej wielkości

    Pierre de Fermat był Francuzem i żył w pierwszej połowie XVII wieku (1601-1665). Jako radca prawny praktykował w sądzie w Tuluzie na południu Francji. Naukami ścisłymi, a w szczególności matematyką, interesował się jako amator, ale wniósł potężny wkład do ich rozwoju. Szczególnie spektakularne są jego osiągnięcia w teorii liczb i o nich traktuje niniejszy artykuł. Wszyscy wiedzą, że jest Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF), Małe Twierdzenie Fermata (MTwF) i jeszcze inne twierdzenia Fermata dotyczące teorii liczb - ale które z nich jest największe?

  3. Teoria liczb Mała Delta

    Resztki

    Skończyłam! - krzyknęła triumfalnie Agatka do swojego brata, Bartka. Dziewczynka regularnie domaga się od starszego chłopca rozmaitych ciekawostek matematycznych, których ten dowiaduje się w liceum...

  4. Teoria liczb

    Złociaków nigdy dosyć

    Wyobraźmy sobie, że trafiliśmy do dziwnego kraju, w którym jedynymi dostępnymi środkami płatniczymi są monety o nominałach |a i b: Formy płatności nie rozwinęły się na tyle, żeby płacić kartą lub czekiem, na domiar złego wybraliśmy się do cukierni, w której kasa jest zupełnie pusta i sprzedawca nie może wydać nam reszty. Nie chcąc tracić swoich złociaków, rozglądamy się za pysznościami w cenach |a + a;a + b;xa + yb ::: Niektórych kwot, oczywiście, nie daje się uzyskać z nominałów  a i |b; a niektóre można otrzymać na wiele sposobów.

  5. obrazek

    Teoria liczb Drobiazgi

    Rozsądnego algorytmu brak

    Na obrazku widać przenumerowanie szesnastu z 17 równo rozmieszczonych punktów na okręgu. Obok "normalnych" czarnych numerków podano dziwnie rozmieszczone czerwone. Zrobiono to w ten sposób, że nawinięto na ten okrąg półprostą, na której zaznaczono punkty odpowiadające kolejnym potęgom 3.

  6. Algorytmy Co to jest?

    Algorytm faktoryzacji Shora

    W 1994 roku Peter Shor, pracujący wówczas w Bell Labs w New Jersey, pokazał, jak przy użyciu hipotetycznego komputera kwantowego rozłożyć w czasie wielomianowym dowolną liczbę naturalną na czynniki pierwsze. W tamtym czasie algorytmy kwantowe dopiero raczkowały. To właśnie odkrycie Shora spowodowało wielki rozwój tej dziedziny. Społeczność informatyków zrozumiała, że gdyby udało się zbudować komputer kwantowy rozsądnej wielkości, to świat stałby się istotnie inny. Nie jest bowiem znany żaden algorytm dla problemu faktoryzacji, czyli rozkładu na dzielniki pierwsze, który działa w czasie wielomianowym na komputerze klasycznym. Co więcej, nawet nie znaleziono algorytmu losowego, który z dużym prawdopodobieństwem w zazwyczaj niedługim czasie faktoryzuje liczbę: nie jest po prostu znana zupełnie żadna rozsądna heurystyka...

  7. Algebra

    Combinatorial Nullstellensatz w teorii liczb

    W Delcie 7/2017 przedstawiliśmy kilka "olimpijskich" zastosowań twierdzenia Combinatorial Nullstellensatz. Okazuje się, że zamiast "zwykłych" wielomianów wielu zmiennych możemy rozważać wielomiany o współczynnikach będących resztami z dzielenia przez pewną liczbę pierwszą |p; z dodawaniem i mnożeniem modulo p: Poniżej przedstawimy trzy klasyczne twierdzenia, których proste dowody są oparte na Combinatorial Nullstellensatz w wersji "resztowej". Twierdzenia te są szczególnie bliskie zastosowaniom olimpijskim.

  8. obrazek

    Teoria liczb Mała Delta

    Obsesja dużych liczb

    Kiedy miałem kilka, kilkanaście lat, wraz ze starszym bratem często graliśmy w grę. Należało w swojej kolejce podać liczbę większą od wskazanej przez poprzednika. Przegrywał oczywiście ten, kto nie był w stanie podać liczby większej. Czasami ponosiła nas fantazja i mówiliśmy "nieskończoność" albo "nieskończoność plus nieskończoność". Dziś już wiem, że nieskończoność liczbą nie jest, a działania na nieskończonościach są bardziej wyrafinowane, niż podejrzewałem. Gdyby i Tobie, drogi Czytelniku, przyszło kiedyś wymienić (albo usłyszeć) jakąś dużą liczbę, możesz sięgnąć do poniższej listy. Nie są to bowiem byle jakie liczby...

  9. Teoria liczb

    Liczby pierwsze jako niewiadome

    W historii ludzkiego poznania mało jest tak fascynujących pojęć jak liczby pierwsze. Chociaż dzisiaj wiemy o nich znacznie więcej niż 120 lat temu, to jeszcze więcej dotyczących ich pytań pozostaje bez odpowiedzi. Celem tej notki jest pokazanie, że trudno jest ocenić na pierwszy rzut oka, czy pytanie dotyczące liczb pierwszych jest łatwe, czy też bardzo trudne - poza zasięgiem współczesnej nauki.

  10. Teoria liczb

    Dywany Antoniego - nie tylko bajka o pewnych zastosowaniach ciągu Fibonacciego

    Dawno, dawno temu, za drugą górą, za trzecią rzeką żył sobie królewicz Leonardo pochodzący ze szlachetnego rodu Fibonaccich. No, może nie całkiem królewicz, ale piąty syn dyplomaty włoskiego. Może nie całkiem za trzecią rzeką, bo urodził się za ósmą doliną i trzynastoma bagnami, dokładniej w Pizie w 1175 roku. Zatem przynajmniej rzeczywiście żył dawno, dawno temu. Choć w pewnym sensie żyje do dzisiaj w swoich uczniach, bowiem wieść o liczbach Fibonacciego rozeszła się po świecie i szumi o nich niejeden las...

  11. Teoria liczb

    Kongruencje z królikiem

    Artykuł o powyższym tytule wypada rozpocząć od przypomnienia, czym są kongruencje. Jeśli dwie liczby naturalne |a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę naturalną n (innymi słowy, jeśli |a− b jest podzielne przez n ), uczenie jest stwierdzić, że a i b przystają do siebie modulo n i fakt ten zanotować jako a ≡ b modn: W tym kontekście znaczek " ≡ " (lub raczej to, co on sobą reprezentuje) nazywamy właśnie kongruencją.