Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Teoria liczb

    Algorytmy podzielności przez 7

    Zapewne każdy Czytelnik Delty wie, jak sprawdzić, czy nawet duża liczba jest podzielna przez 3, czy przez 8. Metody tego typu wprowadzane są już w młodszych klasach szkoły podstawowej, dzięki czemu są powszechnie znane. Jednak tytułowy problem podzielności akurat przez 7 jest w typowym kursie szkolnym pomijany. W niniejszym artykule postanowiliśmy więc tę lukę uzupełnić i przedstawić przegląd różnych metod na sprawdzenie podzielności przez 7.

  2. obrazek

    Teoria liczb

    Trudniej, a łatwiej

    Są twierdzenia łatwe i trudne do udowodnienia. Zazwyczaj im mocniejsze sformułowanie, obejmujące więcej przypadków, tym trudniej się je dowodzi. Tak jest na przykład z twierdzeniem cosinusów i twierdzeniem Pitagorasa, które jest jego szczególnym przypadkiem. Łatwiej jest udowodnić twierdzenie Pitagorasa; można to zrobić nawet w sposób zrozumiały dla przedszkolaka (zobacz rysunek obok). Do dowodu twierdzenia cosinusów trzeba przynajmniej wiedzieć, co to cosinus, w szczególności kąta rozwartego.

  3. Kombinatoryka

    Raz, dwa, trzy, wychodź ty!

    Dawno temu... w czasach bez Internetu, bez gier komputerowych i smartfonów dzieci bawiły się w chowanego. Na początku zabawy trzeba było oczywiście wyznaczyć osobę, która będzie szukać. Uczestnicy ustawiali się w koło i ktoś odliczał: Raz, dwa, trzy, wychodź ty, i wówczas szósta osoba (odliczanka ma 6 sylab) wychodziła z kółka. Procedurę tę powtarzano aż do momentu, gdy w kółku pozostała jedna osoba - to był pierwszy szukający. Istnieje wiele wierszyków-odliczanek. Moją ulubioną jest odliczanka 15-sylabowa: Mama daje jeść, tata daje pić, a ty sobie idź.

  4. Teoria liczb

    Mały Gauss

    Już rok po śmierci Gaussa (w 1856 r.) ukazała się książka wspomnieniowa jego wieloletniego przyjaciela Wolfganga Sartoriusa von Waltershausena Zum Gauss Gedächtniss. Trzeba o niej wiedzieć co najmniej z dwóch powodów. Stąd pochodzi najsłynniejszy aforyzm z matematyką w roli głównej. Jako teoretyk liczb przytoczę go z przyjemnością w pełnej postaci: Matematyka jest królową nauk, a arytmetyka królową matematyki.

  5. obrazek

    David Hilbert (1862-1943)

    David Hilbert (1862-1943)

    Algorytmy

    O dziesiątym problemie Hilberta

    Podczas odbywającego się w 1900 roku w Paryżu Drugiego Międzynarodowego Kongresu Matematyków jeden z referatów wygłosił wybitny niemiecki matematyk David Hilbert. W swoim wystąpieniu zawarł on listę dwudziestu trzech zagadnień matematycznych stanowiących, jego zdaniem, szczególne wyzwanie dla matematyków w rozpoczynającym się XX wieku. Większość z nich doczekała się rozwiązania. Inne, jak słynna hipoteza Riemanna, pozostają otwarte, inspirując kolejne pokolenia naukowców.

  6. Matematyka Mała Delta

    Problemy starożytnych

    Jednym z naturalnych skojarzeń z nieskończonością są duże, bardzo duże liczby. Tak bardzo, że trudno je sobie wyobrazić, a intuicja nie pomaga. Możemy jednak o nich pomyśleć. Czytając doniesienia o wydatkach z budżetu państwa lub tym bardziej o światowej gospodarce, łatwo pogubić się w milionach, miliardach i bilionach. I chociaż wiemy, że w bilionie  12 |1000000000000 = 10 mieści się aż milion milionów, mało kto jest w stanie to sobie wyobrazić. Wszystkie te liczby wpadają w tę samą kategorię - liczb dużych na tyle, że nie znajdujemy dla nich zastosowania w zwyczajnym codziennym życiu.

  7. Teoria liczb

    Sumy kwadratów wielomianów

    Suma kwadratów najczęściej kojarzy się nam z twierdzeniem Pitagorasa - słusznie, ale warto wiedzieć, że temat ten ma swoje miejsce również w teorii liczb, gdzie interesuje nas, czy daną liczbę całkowitą można przedstawić w postaci sumy kwadratów innych liczb całkowitych. Intrygujące jest również pytanie, ile składników znajduje się w tej sumie. Osiągnięcia w tym zakresie mieli między innymi Fermat, Euler i Lagrange...

  8. Teoria liczb

    Szereg Leibniza i punkty kratowe

    Powiążemy tu wzór Leibniza

    ß- 1- 1- 1- 1- 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 + :::

    z geometrią (pola) i teorią liczb. Tekst jest wyraźnie dłuższy od tego, który jest w książce Hilberta i Cohn-Vossena, bo szkicujemy dowód twierdzenia z teorii liczb, na które autorzy jedynie powołują się. Pozostawimy jednak bez dowodu niektóre bardzo znane twierdzenia z teorii liczb, ze względu na ograniczenia miejsca w miesięczniku. Zaznaczyć warto, że podawany zwykle studentom pierwszego roku dowód jest krótszy, ale zdaniem autora tego tekstu, nie pokazuje związku z geometrią, który jest mocno sugerowany obecnością |ß we wzorze.

  9. obrazek

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Teoria liczb

    Twierdzenia Fermata różnej wielkości

    Pierre de Fermat był Francuzem i żył w pierwszej połowie XVII wieku (1601-1665). Jako radca prawny praktykował w sądzie w Tuluzie na południu Francji. Naukami ścisłymi, a w szczególności matematyką, interesował się jako amator, ale wniósł potężny wkład do ich rozwoju. Szczególnie spektakularne są jego osiągnięcia w teorii liczb i o nich traktuje niniejszy artykuł. Wszyscy wiedzą, że jest Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF), Małe Twierdzenie Fermata (MTwF) i jeszcze inne twierdzenia Fermata dotyczące teorii liczb - ale które z nich jest największe?

  10. Teoria liczb Mała Delta

    Resztki

    Skończyłam! - krzyknęła triumfalnie Agatka do swojego brata, Bartka. Dziewczynka regularnie domaga się od starszego chłopca rozmaitych ciekawostek matematycznych, których ten dowiaduje się w liceum...