Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Teoria liczb

    Algorytmy podzielności przez 7

    Zapewne każdy Czytelnik Delty wie, jak sprawdzić, czy nawet duża liczba jest podzielna przez 3, czy przez 8. Metody tego typu wprowadzane są już w młodszych klasach szkoły podstawowej, dzięki czemu są powszechnie znane. Jednak tytułowy problem podzielności akurat przez 7 jest w typowym kursie szkolnym pomijany. W niniejszym artykule postanowiliśmy więc tę lukę uzupełnić i przedstawić przegląd różnych metod na sprawdzenie podzielności przez 7.

  2. Teoria liczb

    Szereg Leibniza i punkty kratowe

    Powiążemy tu wzór Leibniza

    ß- 1- 1- 1- 1- 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 + :::

    z geometrią (pola) i teorią liczb. Tekst jest wyraźnie dłuższy od tego, który jest w książce Hilberta i Cohn-Vossena, bo szkicujemy dowód twierdzenia z teorii liczb, na które autorzy jedynie powołują się. Pozostawimy jednak bez dowodu niektóre bardzo znane twierdzenia z teorii liczb, ze względu na ograniczenia miejsca w miesięczniku. Zaznaczyć warto, że podawany zwykle studentom pierwszego roku dowód jest krótszy, ale zdaniem autora tego tekstu, nie pokazuje związku z geometrią, który jest mocno sugerowany obecnością |ß we wzorze.

  3. obrazek

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Teoria liczb

    Twierdzenia Fermata różnej wielkości

    Pierre de Fermat był Francuzem i żył w pierwszej połowie XVII wieku (1601-1665). Jako radca prawny praktykował w sądzie w Tuluzie na południu Francji. Naukami ścisłymi, a w szczególności matematyką, interesował się jako amator, ale wniósł potężny wkład do ich rozwoju. Szczególnie spektakularne są jego osiągnięcia w teorii liczb i o nich traktuje niniejszy artykuł. Wszyscy wiedzą, że jest Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF), Małe Twierdzenie Fermata (MTwF) i jeszcze inne twierdzenia Fermata dotyczące teorii liczb - ale które z nich jest największe?

  4. Teoria liczb Mała Delta

    Resztki

    Skończyłam! - krzyknęła triumfalnie Agatka do swojego brata, Bartka. Dziewczynka regularnie domaga się od starszego chłopca rozmaitych ciekawostek matematycznych, których ten dowiaduje się w liceum...

  5. Teoria liczb

    Złociaków nigdy dosyć

    Wyobraźmy sobie, że trafiliśmy do dziwnego kraju, w którym jedynymi dostępnymi środkami płatniczymi są monety o nominałach |a i b: Formy płatności nie rozwinęły się na tyle, żeby płacić kartą lub czekiem, na domiar złego wybraliśmy się do cukierni, w której kasa jest zupełnie pusta i sprzedawca nie może wydać nam reszty. Nie chcąc tracić swoich złociaków, rozglądamy się za pysznościami w cenach |a + a;a + b;xa + yb ::: Niektórych kwot, oczywiście, nie daje się uzyskać z nominałów  a i |b; a niektóre można otrzymać na wiele sposobów.

  6. obrazek

    Teoria liczb Drobiazgi

    Rozsądnego algorytmu brak

    Na obrazku widać przenumerowanie szesnastu z 17 równo rozmieszczonych punktów na okręgu. Obok "normalnych" czarnych numerków podano dziwnie rozmieszczone czerwone. Zrobiono to w ten sposób, że nawinięto na ten okrąg półprostą, na której zaznaczono punkty odpowiadające kolejnym potęgom 3.

  7. Algebra

    Combinatorial Nullstellensatz w teorii liczb

    W Delcie 7/2017 przedstawiliśmy kilka "olimpijskich" zastosowań twierdzenia Combinatorial Nullstellensatz. Okazuje się, że zamiast "zwykłych" wielomianów wielu zmiennych możemy rozważać wielomiany o współczynnikach będących resztami z dzielenia przez pewną liczbę pierwszą |p; z dodawaniem i mnożeniem modulo p: Poniżej przedstawimy trzy klasyczne twierdzenia, których proste dowody są oparte na Combinatorial Nullstellensatz w wersji "resztowej". Twierdzenia te są szczególnie bliskie zastosowaniom olimpijskim.

  8. Teoria liczb

    Kongruencje z królikiem

    Artykuł o powyższym tytule wypada rozpocząć od przypomnienia, czym są kongruencje. Jeśli dwie liczby naturalne |a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez liczbę naturalną n (innymi słowy, jeśli |a− b jest podzielne przez n ), uczenie jest stwierdzić, że a i b przystają do siebie modulo n i fakt ten zanotować jako a ≡ b modn: W tym kontekście znaczek " ≡ " (lub raczej to, co on sobą reprezentuje) nazywamy właśnie kongruencją.

  9. Teoria liczb

    Reszta jest dziełem człowieka, czyli Fermat i inni

    Nie ma słynniejszego twierdzenia niż Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF) i tego nie zamierzam tu dowodzić. Zacznę po prostu od sformułowania faktu, który od 1995 roku jest rzeczywiście twierdzeniem za sprawą Andrew Wilesa, a wcześniej przez około trzy i pół wieku był hipotezą zajmującą głowy największych matematyków i rzesze amatorów...

  10. Teoria liczb Mała Delta

    Kraina dwóch monet

    Wyobraźmy sobie, że trafiliśmy do dziwnego kraju, w którym jedynymi dostępnymi środkami płatniczymi są monety o nominałach 5 i 9. Formy płatności nie rozwinęły się na tyle, żeby płacić kartą lub czekiem, na domiar złego wybraliśmy się do cukierni, w której kasa jest zupełnie pusta i sprzedawca nie może wydać nam reszty...

  11. Algorytmy

    Test na liczbę pierwszą

    Chyba wszyscy lubimy liczby pierwsze. Szczególne wrażenie robią te naprawdę duże, wydają się skrywać w sobie jakąś nadzwyczajną tajemnicę: dlaczego akurat one stały się swego rodzaju wybrańcami spośród innych liczb i mają tak niezwykłe właściwości?