Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Teoria Mnogości Co to jest?

    Zbiór

    Zbiór to najbardziej podstawowe pojęcie matematyki. Ze zbiorami mamy do czynienia właściwie we wszystkich dyscyplinach matematycznych. Choć każdy Czytelnik na pewno intuicyjnie rozumie słowo "zbiór" (np. jako kolekcję lub zestaw utworzony z pewnego rodzaju elementów), to pojęcie to nie ma formalnej definicji.

  2. Matematyka Mała Delta

    Problemy starożytnych

    Jednym z naturalnych skojarzeń z nieskończonością są duże, bardzo duże liczby. Tak bardzo, że trudno je sobie wyobrazić, a intuicja nie pomaga. Możemy jednak o nich pomyśleć. Czytając doniesienia o wydatkach z budżetu państwa lub tym bardziej o światowej gospodarce, łatwo pogubić się w milionach, miliardach i bilionach. I chociaż wiemy, że w bilionie  12 |1000000000000 = 10 mieści się aż milion milionów, mało kto jest w stanie to sobie wyobrazić. Wszystkie te liczby wpadają w tę samą kategorię - liczb dużych na tyle, że nie znajdujemy dla nich zastosowania w zwyczajnym codziennym życiu.

  3. obrazek

    Georg Cantor (1845-1918)

    Georg Cantor (1845-1918)

    Teoria Mnogości Mała Delta

    Nieskończoność

    Na nieskończoność natrafiono już w starożytności. Nic dziwnego, że była traktowana z podejrzliwością, w końcu wszystko w prawdziwym świecie wydawało się skończone. Bywała źródłem problemów, paradoksów i sporów (na przykład, paradoks Zenona z Elei). W końcu, w drugiej połowie XIX wieku, nieskończoność udało się nieco oswoić (nie mylić z ujarzmić), weszła do kanonu matematyki, a właściwie w jej fundamenty. Owo oswajanie zaczęło się od Georga Cantora...

  4. obrazek

    David Hilbert (1863-1943)

    David Hilbert (1863-1943)

    Teoria Mnogości Mała Delta

    Hotel Hilberta

    Nieskończoność... Co myślisz, gdy słyszysz to słowo? Może myślisz o rozgwieżdżonym niebie? Może próbujesz wyobrazić sobie coś bardzo, ale to bardzo dużego? A może myślisz o ludzkiej wyobraźni i sile naszego umysłu? George Cantor postanowił potraktować nieskończoność jak coś "zwykłego" i po prostu ją zbadał. Pójdziemy jego śladem. Zastanówmy się... Czy każda nieskończoność jest taka sama? Czy też może są większe i mniejsze? Czy wszechświat jest nieskończony? Co to jest nieskończoność? Na wiele pytań dotyczących nieskończoności udzielono wyczerpujących odpowiedzi. Na część z nich odpowiedzi nie są znane. O niektórych wiadomo, że nie da się na nie odpowiedzieć po prostu "tak" lub "nie".

  5. obrazek

    Rys. 1 Przykładowa Hydra.

    Rys. 1 Przykładowa Hydra.

    Logika

    Jak radzić sobie z Hydrą?

    Drodzy Poszukiwacze Przygód, witam Was na kolejnym szkoleniu. Dzisiaj nauczymy się jak rozpoznawać, znajdować i radzić sobie w boju z Hydrą. Hydry to paskudne stworzenia, zamieszkujące świat grafów. Niech Was nie zmyli rysunek obok. Zobaczcie, jak przerażająco on wygląda. Hydry to bestie, które tylko upodobniają się do drzew, aby Was zmylić! Tam, gdzie niektórzy z Was dostrzegają korzeń, znajduje się tułów bestii. Tam, gdzie wydają się być liście, są głowy naszego stwora. Krawędzie to szyje, a wierzchołki wewnętrzne to zgięcia.

  6. Teoria liczb

    Prawda o matematykach

    Jakie jest największe miasto na świecie? Czy wirus jest organizmem żywym? Jaki jest najpiękniejszy obraz Tycjana? Są to proste pytania, na które nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Przyczyną jest brak jasno określonych kryteriów. Jedną z cech wyróżniających matematykę spośród innych dziedzin życia i nauki jest to, że każde pojęcie ma swoją precyzyjną definicję. Wydaje się więc, że na każde pytanie matematyczne jest jednoznaczna odpowiedź, którą można formalnie uzasadnić. W konsekwencji, nic nie jest brane "na wiarę". Okazuje się, że nie do końca tak jest!

  7. Logika Co to jest?

    Czy trzeba dowodzić rzeczy oczywistych?

    Każda nauka ścisła ma własne metody potwierdzania swoich tez. Dla większości z nich weryfikacja twierdzeń polega na konfrontacji z rzeczywistością. Matematyka jest jedyną z tych nauk, w której owa rzeczywistość nie jest ostateczną (ani jakąkolwiek) metodą sprawdzania zdań aspirujących do wzbogacenia zasobu wiedzy matematycznej. Weryfikatorem twierdzeń jest dowód. Mowa tu o tzw. matematyce czystej lub teoretycznej; zauważmy jednak, że fizyczna rzeczywistość weryfikuje stosowalność instrumentów matematycznych, nie ich wartość matematyczną.

  8. Rachunek prawdopodobieństwa

    Szczęście w zbiorach mierzalnych

    Wyobraźmy sobie następującą grę. Mamy planszę o polach ponumerowanych od 0 do 100 i dwa pionki, stojące na początku na polu o numerze 0. Gracze wykonują ruchy na przemian. Gracz rzuca monetą i jeśli wypadnie reszka, to przesuwa swój pionek o 1 pole, a jeśli orzeł – o 5 pól. Wygrywa ten, kto pierwszy dojdzie do pola o numerze 100.

  9. Teoria Mnogości

    Kaskady i swaty

    Często pojawiające się w matematyce zadanie polega na skonstruowaniu funkcji math spełniającej pewne warunki. Między innymi możemy chcieć, aby funkcja ta była różnowartościowa i „na”, co gdyby miało miejsce, oznaczałoby równoliczność zbiorów math i math  Punktem wyjścia bywa inna funkcja math która potrzebnych warunków nie spełnia, ale wystarczy ją tylko trochę zmienić.

  10. Kombinatoryka

    Kombinatoryka i nieskończoność

    Kombinatoryka zajmuje się własnościami zbiorów skończonych, w szczególności zagadnieniem zliczania elementów takich zbiorów. Czy może zatem w kombinatoryce znaleźć się miejsce dla nieskończoności? Okazuje się, że tak – pokażę jedno z takich zastosowań nieskończoności: funkcje tworzące...