Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Newtonowskie intuicje dla fal grawitacyjnych

Michał Bejger

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: marzec 2017
  • Publikacja elektroniczna: 1 marca 2017
  • Autor: Michał Bejger
    Notka biograficzna: Profesor Centrum Astronomicznego im. Mikołaja Kopernika PAN. Członek zespołu naukowego Virgo (Virgo-POLGRAW), który w lutym 2016 r. odkrył fale grawitacyjne.
  • Wersja do druku [application/pdf]: (132 KB)

Według ogólnej teorii względności grawitacja jest skutkiem zakrzywiania się czterowymiarowej czasoprzestrzeni wokół masywnych obiektów. Mniej masywne ciała poruszają się wokół bardziej masywnych po liniach geodezyjnych (liniach "najprostszych" w zakrzywionej przestrzeni), co np. w przypadku planet w Układzie Słonecznym daje wrażenie ruchu po orbitach eliptycznych. Na swobodnie poruszające się ciała nie działa żadna siła: ich trajektorie są wynikiem geometrii.

obrazek

Dodatkowo, ogólna teoria względności ma wbudowane ograniczenie prędkości. Wszelkie informacje o zmianie krzywizny rozprzestrzeniają się z prędkością światła. O zmianach tych można myśleć jak o zmiennej w czasie odległości czasoprzestrzennej pomiędzy zdarzeniami. Odległość ta, czyli czterowymiarowy interwał ds definiuje się, używając tensora metrycznego gαβ, ds2 = gαβdxαdx β (zakres α,β = 0,...,3 odpowiada jednemu wymiarowi czasowemu i trzem przestrzennym, a powtarzające się indeksy oznaczają sumowanie w tym zakresie). Składowe | gαβ w ogólnym przypadku mogą mieć skomplikowaną postać zależną od rozmieszczenia zakrzywiających czasoprzestrzeń mas. Dla ilustracji rozważmy przypadek pustej czasoprzestrzeni (czasoprzestrzeni Minkowskiego, z dala od jakichkolwiek mas), z dodanym drobnym zaburzeniem. Interwał czasoprzestrzenny jest wtedy równy

ds2 = (ηαβ+ hαβ)dx αdxβ,

gdzie |ηαβdxαdx β= −cdt2 + dx2 + dy2 + dz2 jest czterowymiarową "odległością" w pustej przestrzeni, a hαβdx αdx β jej niewielkim zaburzeniem. Wkrótce po ogłoszeniu ogólnej teorii względności, w 1916 roku Albert Einstein stwierdził, że w przypadku przedstawionym powyżej jego równania przyjmują postać równania falowego, którego rozwiązaniem jest owo małe zaburzenie h: fala grawitacyjna. Ma ono parę cech podobnych do fal elektromagnetycznych: ma charakter fali poprzecznej i ma (dwie) niezależne polaryzacje. Przez następne kilkadziesiąt lat istniała poważna kontrowersja, czy rozwiązaniom tym odpowiada zjawisko fizyczne, czy raczej są efektem doboru współrzędnych. Kontrowersja została rozwiana na przełomie lat 50. i 60. przez Feliksa Piraniego, Hermana Bondiego, Ivora Robinsona i Andrzeja Trautmana na korzyść prawdziwości hipotezy fal grawitacyjnych.

Realne promieniowanie jest związane z transportem energii; w szczególności fale powinny móc przenosić energię od źródła do nieskończoności. Jeśli amplituda pola związanego z (dla uproszczenia) sferyczną falą w odległości |r od źródła jest równa h(r), to strumień energii przez sferyczną powierzchnię wynosi |F(r)∝ h2(r), a całkowita moc promieniowania (jasność) jest proporcjonalna do  2 2 L(r) ∝ 4π rh (r). Jako że energia musi być zachowana, amplituda h(r) musi maleć z odległością jak |1/r. W przypadku detektorów fal grawitacyjnych typu laserowych interferometrów Advanced LIGO i Advanced Virgo, które mierzą właśnie amplitudę fali |h, mierzona jest względna różnica różnic długości prostopadłych ramion interferometru, h = ∆Lx −∆ Ly = ∆L/L, gdzie L jest długością ramienia (więcej szczegółów w artykule Izy Kowalskiej w Delcie 10/2010). Zależność h od odwrotności odległości przekłada się na daleko większy zasięg w porównaniu do tradycyjnych metod obserwacji, w których wartością mierzoną jest energia proporcjonalna do |h2. Poprawa czułości o rząd wielkości oznacza dziesięciokrotnie dalszy zasięg w porównaniu do około trzykrotnie większego zasięgu np. teleskopów optycznych.

Przez analogię do elektromagnetyzmu, w którym promieniowanie elektromagnetyczne jest skutkiem przyśpieszonego ruchu ładunków elektrycznych, źródłem promieniowania grawitacyjnego powinien być przyśpieszony ruch mas. Do promieniowania nie wystarczy jednak samo istnienie ładunku (masy). Dla układu mas opisanego rozkładem gęstości |ρ(r), gdzie  r to radialna odległość od początku układu odniesienia (np. środka masy), najprostszym momentem rozkładu jest monopol , M który jest po prostu całkowitą masą-energią układu. Jego zmiana oznaczałaby nieprzestrzeganie zasady zachowania masy-energii. Również zmienny moment dipolowy mas Pi nie może być źródłem promieniowania grawitacyjnego, ponieważ z definicji odpowiada środkowi masy układu; zmienność oznaczałaby złamanie zasady zachowania pędu. Najniższym "promieniującym" multipolem w teorii grawitacji jest zatem kwadrupol, |Ii j = p ρ(r)xix jd3x, z którym nie wiążą się żadne zasady zachowania. Powyższe rozważania oznaczają, że sferycznie symetryczny ruch mas, np. kolaps albo eksplozja, nie wywołuje emisji fal grawitacyjnych. To samo dotyczy osiowo symetrycznej rotującej gwiazdy. Dobrymi źródłami fal są natomiast niesferyczne wybuchy supernowych, rotujące zdeformowane gwiazdy neutronowe oraz układy podwójne gwiazd lub czarnych dziur.

Wielkość amplitudy fali grawitacyjnej h można oszacować za pomocą analizy wymiarowej. Z definicji h jest wielkością bezwymiarową i, jak wynika z powyższych rozważań, odwrotnie proporcjonalną do odległości od źródła. Powinna też być związana z momentem kwadrupolowym, którego jednostki to [kgm 2 ]. Wiemy także, że w wyrażeniu powinna pojawić się druga pochodna, odpowiadająca przyśpieszonemu ruchowi mas, niech zatem 22 2 R)/∂t. h ∝ (1/r)∂ (M Jednostki tego wyrażenia to  −2 |[kgms ]. By dostać wielkość bezwymiarową, należy odpowiednio dobrać potęgi stałych fizycznych występujące w problemie: stałą grawitacji G oraz prędkość światła |c. Bezwymiarowe h otrzymamy dla współczynnika proporcjonalności równego  4 |G/c . Jest to bardzo mała liczba,  −1 8,26244528 ⋅10 −45 [m −1 kg s2], co oznacza, że źródłami fal o dużej amplitudzie mogą być tylko szybko poruszające się, masywne ciała. Rozważmy układ podwójny mas m i m oddalonych o a (separacji a) na orbicie kołowej. Oszacowanie h można przepisać dla takiego układu, zamieniając R2 |M na µ a2 i przyjmując, że M jest całkowitą, a µ = (m1m2)/M zredukowaną masą układu. Można też przyjąć, że druga pochodna |∂2/∂t2 jest proporcjonalna do orbitalnej prędkości obrotowej ω Korzystając z trzeciego prawa Keplera (patrz obok), dostaniemy

 2 5~3 µ2~3µω h≃ G--1 M---= G---1M 2~3. c4r a c4 r

Dla przykładu, rząd wielkości h w przypadku dwóch gwiazd neutronowych o podobnych masach , |(m 2~3µ=M5~3/4) M jest następujący:

 −22 100Mpc-- -- f-- 2~3 --M----5~3 h≈ 10 ( r )( 100Hz ) ( 2,8M ) .

Charakterystyczna względna amplituda  −22 h = ∆L/L = 10 odpowiada pomiarowi odległości Słońce-Saturn z dokładnością do rozmiaru atomu! Używając argumentów newtonowskich, dostaliśmy przybliżenie kwadrupolowe amplitudy h, poprawne dla układów, w których prędkości nie są bliskie prędkości światła. Po raz pierwszy sformułował je w 1918 roku Albert Einstein:

 2G hi j = -4-¨Ii j cr

(dwie kropki oznaczają drugą pochodną względem czasu). Amplituda |h jest więc bezpośrednio związana z niesymetryczną częścią energii kinetycznej układu: h ∝ Enskiynm/r.

Z powyższego i notki na marginesie widać też, że h jest proporcjonalna do momentu kwadrupolowego | 2 (I ∝ µa ) oraz | ω Z rozważań o strumieniu energii wiemy natomiast, że jasność układu (moc promieniowania fal) L jest funkcją h2 ∝ I2, oraz ω w pewnej potędze. Używając analizy wymiarowej (o której więcej napiszemy w następnym numerze), dostajemy

 dE G L =---GW- ∝ --I2ω dt c5

gdzie EGW jest energią fali grawitacyjnej, /c2 Rs = 2GM jest promieniem Schwarzschilda czarnej dziury o masie , |M a v = ω jest prędkością liniową masy M na orbicie o promieniu |a. Czynnik proporcjonalności wynosi |32/5. Druga wersja równania pokazuje dobitnie, że moc emitowana przez układ podwójny o rozmiarze porównywalnym z Rs i orbitującym z prędkością bliską prędkości światła jest ogromna: czynnik |c5/G wynosi |3,9 ⋅1052 W. Dla porównania zwyczajne układy podwójne są bardzo słabymi źródłami fal. Układ Ziemia-Słońce emituje około 200 W (całkowita emisja elektromagnetyczna Słońca to około 4 ⋅1026 W).

Fale emitowane są na koszt zmniejszania orbitalnej energii układu, |Eorb =− Gm1m2/(2a). Porównanie zmiany Eorb | i EGW daje

dEorb≡ Gm1m2--a˙= − dEGW-. dt 2a2 dt

Używając trzeciego prawa Keplera oraz wynikającej z niego pochodnej |˙a = −2a ˙ω/(3ω można otrzymać zależność między masami składników oraz orbitalną prędkością obrotową i jej pochodną:

3 3 11 2=(96)ωG5ℳ5. ˙ω = ( 96) ω--G5µ3M 5c15 5 c15

Kombinację mas 2)1~5=(m1m2)3~5/(m1+m2)1~5 ℳ = (µ3M nazywa się masą ćwierku przez analogię do podobnego w charakterze zachowania się częstotliwości i amplitudy odgłosu ptaków; prędkość orbitalna oraz amplituda rośnie (h | ∝ ℳ5~3ω podczas gdy separacja układu |a maleje. Masę ćwierku |ℳ można obliczyć wprost z częstotliwości fal grawitacyjnych  f GW (o częstotliwości dwukrotnie większej niż orbitalna, |2π fGW = 2ω) w detektorze:

 c3 5 3~5 ℳ = -- (---π−8~3 f−G1W1~3˙ fGW) . G 96

W połączeniu z również mierzoną bezpośrednio przez detektor amplitudą |h masę ćwierku można wykorzystać do obliczenia odległości do źródła:

 5 c ˙ fGW r =----2---3--. 96π h fGW

Metoda ta jest zupełnie niezależna od tradycyjnie używanych do tej pory przez astronomów "drabin odległości", kalibrowanych poprzez tzw. świece standardowe (np. cefeidy i supernowe typu Ia). W przyszłości pomiary odległości wieloma metodami naraz (np. jasności błysków gamma i fal grawitacyjnych przez nie emitowanych) będą porównywane dla poprawienia kosmicznej skali odległości i precyzyjnego wyznaczenia parametrów kosmologicznych, np. stałej Hubble'a.

Na koniec zastanówmy się, w jaki sposób można otrzymać masy składników dwóch dotychczas zarejestrowanych przez Advanced LIGO sygnałów, GW150914 i GW151226. Po zmierzeniu masy ćwierku (  30M dla GW150914 i  |9M dla GW151226) do dyspozycji pozostaje nam analiza przebiegu samego ćwierku. W obu obserwacjach sygnał urywa się przy pewnej krytycznej częstości | c fGW. W przypadku GW | c 150914f GW to około | 150 Hz ( 450 Hz dla GW151226). Nagłe przerwanie ćwierku interpretowane jest jako zderzenie składników o skończonych rozmiarach i moment, w którym układ podwójny przestaje istnieć. Ograniczenie na rozmiar układu dostaniemy, zakładając, że składniki są czarnymi dziurami o promieniach Schwarzschilda. Zatem

 2G Rs1 +Rs2 =-2-(m1 c

Krytyczną odległość afin wstawiamy do trzeciego prawa Keplera, dostając oszacowanie na sumę mas

c31 =m1+m2≈√c. M 4Gπ2 fGW

Dla GW150914 obliczone w ten sposób M wynosi około  , |76M dla GW151226 dostajemy =25,4M . |M Dokładne wartości mas układu, otrzymane przy użyciu ogólnej teorii względności i symulacji numerycznych, to, odpowiednio,  65M i  21M (newtonowskie oszacowanie radzi sobie zatem całkiem nieźle, jednak nie na tyle dobrze, by poprawnie określić masy składników dla obu sygnałów poprzez rozwiązanie układu równań |M i ℳ ). Alternatywną metodą jest założenie, że masy składników są podobne. Wtedy 6~5 =2ℳ, M i =70M M dla GW150914, oraz  20,7M dla GW151226.

Masy końcowych czarnych dziur w obu przypadkach wynoszą  62M i  . 20M Gdzie podziała się brakująca masa? Została wyemitowana w falach grawitacyjnych. Można ją obliczyć w następujący sposób. Całkowita energia układu dla separacji a składa się z przyczynków od masy spoczynkowej i energii orbitalnej,

E = Ems + Eorb = (m1

Zakładając dla uproszczenia, że m1 oraz że końcowa separacja |afin = 2Rs = 4Gm1/c2 (w rzeczywistości układ staje się niestabilny dla nieco większych separacji) różnicę energii między stanem początkowym |(a ∞ ) i końcowym oceniamy na 6% całkowitej masy-energii (  3,9M dla GW150914 i  1,3M dla GW151226, w porównaniu do  3M i  1M otrzymanych wyrafinowanymi metodami). Większość energii została wypromieniowana podczas przemierzania kilku ostatnich orbit oraz podczas procesu tworzenia końcowej czarnej dziury, którego nasz prosty model nie uwzględnia. W momencie największej "jasności" emitowana moc w obu przypadkach wynosiła około 10−3c5/G ≈ 3⋅1049W (składniki poruszały się z prędkościami mniejszymi niż prędkość światła, w odległości większej od promienia Rs końcowej czarnej dziury). Przewyższa ona o rzędy wielkości emisję nie tylko największych dotychczas znanych kosmicznych katastrof - izotropowa emisja błysków gamma to "jedynie" |1047W - ale także sumaryczną emisję wszystkich gwiazd we Wszechświecie. Szacowana gwiazdowa jasność obserwowanego Wszechświata, zawierającego około |1011 galaktyk podobnych do Drogi Mlecznej, z której każda składa się z około 1011 gwiazd podobnych do Słońca, wynosi bowiem około |4⋅1048 W.