Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O kulach i walcach niestaczających się z równi

Podczas trzynastej edycji Fête de la Science demonstrowaliśmy kule i walce o zaskakującej własności: położone na równi pochyłej nie staczały się z niej, lecz po wykonaniu kilku drgań nieruchomiały. Na fot. 1 pokazano walec i kulę spoczywające na nachylonej powierzchni.

obrazek

Fig 1 Styropianowa kula i drewniany (pomalowany) walec spoczywające na równi pochyłej.

Fig 1 Styropianowa kula i drewniany (pomalowany) walec spoczywające na równi pochyłej.

Za pomocą równi pochyłej i piłki do gry w koszykówkę lub w ping-ponga łatwo jest sprawdzić, że zazwyczaj już przy bardzo niewielkim kącie nachylenia math piłka, którą położono na równi, stacza się. Niecodzienny widok kuli, która pozostaje na równi w spoczynku, budził zdziwienie widzów. Przygotowane przez nas kule i walce nie staczały się z równi nawet wówczas, gdy kąt  math przekraczał  math . Widzom odwiedzającym nasze paryskie „ogrodowe” laboratorium zadawaliśmy pytanie:
Jak to możliwe, by kula leżała nieruchomo na pochyłości? Zachęcaliśmy do stawiania hipotez i do eksperymentowania, w szczególności do obserwacji zachowania się dziwnych kul i walców przy próbach wprawienia ich w ruch lub utrzymania w spoczynku, nie tylko na równi pochyłej. Nie ukrywając faktu, że dziwnie zachowujące się bryły zostały przez nas specjalnie przygotowane, nie pozwalaliśmy jednak na zajrzenie, co kryją w swych wnętrzach.

obrazek

Rys. 1 Siły działające na piłkę (a) i na klocek (b), które położono na równi pochyłej. Piłka nie jest w stanie równowagi.

Rys. 1 Siły działające na piłkę (a) i na klocek (b), które położono na równi pochyłej. Piłka nie jest w stanie równowagi.

Piłka na równi

Przeanalizujmy siły działające na piłkę, dzięki którym stacza się ona po równi pochyłej (Rys. 1). Ziemia przyciąga piłkę siłą grawitacji math Oddziaływanie równi na piłkę opisujemy za pomocą siły tarcia math skierowanej wzdłuż równi w górę, oraz siły reakcji sprężystej math skierowanej prostopadle do równi, również ku górze. Siły mathmath przyłożone są do piłki w miejscu jej zetknięcia z równią. Czy możliwe jest, by trójka działających na piłkę sił: math mathmath zapewniała jej równowagę? Wynik prostego doświadczenia, w którym piłkę kładziemy na pochyłości, sugeruje, że nie ma takiej możliwości. Wiemy jednak, że jeśli zamiast piłki umieścimy na równi prostopadłościenny klocek, to działające nań siły math mathmath będą się równoważyć. Na przykład zwykła gumka do wycierania, położona na pochyłej deseczce, pozostaje nieruchoma nawet przy kącie nachylenia bliskim math . Gdy gumka jest w równowadze, siła ciężkości math jest zrównoważona wypadkową sił mathmath Gdy zwiększyć kąt nachylenia równi, gumka zacznie się zsuwać, gdyż siła tarcia statycznego nie może przekroczyć pewnej wartości.

A dlaczego w przypadku piłki jest inaczej? Czemu piłka na równi nie jest w równowadze? Aby wyjaśnić ten fakt, musimy odwołać się do pojęcia momentu siły. Aby ciało rozciągłe, tj. takie, którego rozmiarów nie zaniedbujemy, było w równowadze, spełnione być muszą dwa warunki:

  • Suma sił działających na ciało jest równa zeru.
  • Suma momentów sił działających na ciało jest równa zeru.
obrazek

Rys. 2 Jeśli math to siły mathmath stanowią parę sił, której moment jest równy math

Rys. 2 Jeśli math to siły mathmath stanowią parę sił, której moment jest równy math

Skoro zwykła piłka nie ma na równi położeń równowagi, to najwidoczniej nie jest możliwe jednoczesne spełnienie obu warunków. Istotnie, jeśli przyjąć założenie, że spełniony jest pierwszy z nich, dotyczący sił, to można wykazać, że nie jest spełniony drugi. Niech math czyli math Oznacza to, że siły mathmath stanowią parę sił, tzn. układ sił o równoległych kierunkach, równych wartościach i przeciwnych zwrotach. Jak pokazano na rysunku 2, siły te działają wzdłuż równoległych prostych, których odległość wynosi math gdzie  math to promień kuli. Suma momentów tych sił wynosi math i jest różna od zera (przyjmujemy, że mathmath). Tak więc na piłkę, którą położono na równi, działają siły, które nie zapewniają stanu równowagi. W konsekwencji piłka stacza się pod wpływem działającego na nią momentu sił.

Hipotezy

Widzowie uczestniczący w imprezie stawiali rozmaite hipotezy, usiłując wyjaśnić utrzymywanie się kul i walców na pochyłości. Najczęściej sugerowano, że zastosowane zostały magnesy. Wysuwano również inne przypuszczenia: że kula jest naelektryzowana, lub że zawiera specjalny gaz. Sugerowano nawet, że we wnętrzu kuli zamknięto jakieś zwierzę! Wiele z tych hipotez udało się doświadczalnie odrzucić.

Widzowie namawiani przez nas do wykonywania następnych doświadczeń z walcami i kulami spostrzegali, że walec położony nieruchomo na płaskim podłożu wykonuje drgania, tocząc się raz w jedną, raz w drugą stronę. Najbardziej widowiskowe doświadczenie polegało na próbie utrzymania styropianowej kuli na poziomo wyciągniętej dłoni. Eksperymentatorzy odczuwali na własnej skórze, że ta sama kula, która pozostaje nieruchoma na równi, stacza się z poziomo położonej podpory, jaką stanowi dłoń. Najczęściej to właśnie doświadczenie naprowadzało eksperymentatorów na właściwy ślad. Domyślano się wówczas lub stwierdzano: jedna połowa kuli jest cięższa od drugiej.

obrazek

Rys. 3 Budowa kuli i walca z przesuniętymi środkami ciężkości.

Rys. 3 Budowa kuli i walca z przesuniętymi środkami ciężkości.

Niejednorodne bryły

Najwyższy czas wyjawić, na czym polegał użyty trick sprawiający dziwne zachowanie się kul i walców: bryły te nie były jednorodne. Pojedynczą kulę wytwarzano, sklejając dwie półkuliste czasze. Jednakże przed sklejeniem do wewnętrznej ścianki jednej z nich przymocowywano ołowiany obciążnik. W sklejonej już kuli obciążnik znajdował się w znacznym oddaleniu od środka kuli (Rys. 3), a środek ciężkości tak wytworzonej bryły leżał w pewnej odległości  math od jej środka geometrycznego (odległość tę nazywamy mimośrodem). W podobny sposób przesunięto środek ciężkości walca: kawałek ołowiu umieszczono wewnątrz walca, w pewnej odległości od jego osi. Obciążniki zawarte w bryłach pozostawały niewidoczne dla widza.

obrazek

Rys. 4 Siły działające na walec z przesuniętym środkiem ciężkości, położony na równi. Walec jest w stanie równowagi trwałej.

Rys. 4 Siły działające na walec z przesuniętym środkiem ciężkości, położony na równi. Walec jest w stanie równowagi trwałej.

Walec położono na równi pochyłej tak, że jego oś pozostawała pozioma. Na Rys. 4 pokazano przekrój walca dokonany płaszczyzną równoległą do podstaw. Widoczny okrąg math o promieniu math stanowi zbiór wszystkich punktów, w których może znaleźć się środek ciężkości walca leżącego w ten sposób na równi.

Wyjaśnijmy, dlaczego przesunięcie środka ciężkości walca może zapewnić stabilność walca na równi. Zauważmy, że gdy mimośród jest odpowiednio duży, to środek ciężkości może znaleźć się dokładnie nad punktem podparcia math Ściślej: istnieją wówczas dwa punkty okręgu math znajdujące się nad punktem  math ; oznaczono je mathmath Położenia walca, w których jego środek ciężkości leży w jednym z tych punktów, są stanami równowagi. Zauważmy, że w obu stanach równowagi siły mathmath działają wzdłuż tej samej prostej i w rezultacie suma momentów tych sił jest równa zeru, jeśli tylko siły te mają jednakową wartość.

obrazek

Rys. 5 Określenie kąta math. Gdy math punkty mathmath pokrywają się, a środek masy jest w najniższym punkcie okręgu math (rys. 4).

Rys. 5 Określenie kąta math. Gdy math punkty mathmath pokrywają się, a środek masy jest w najniższym punkcie okręgu math (rys. 4).

Szukając ekstremów energii

Energetyczne rozważania zacznijmy jednak od zwykłego jednorodnego walca (lub jednorodnej kuli). Przyjrzyjmy się, jak zmienia się grawitacyjna energia potencjalna  math tej bryły toczącej się po równi bez poślizgu. Kąt  math, który tworzy z pionem pewna ustalona średnica walca (Rys. 5), przyjmiemy za parametr opisujący jego położenie. Niech w chwili początkowej mathmath Przy założeniu, że pole grawitacyjne jest jednorodne, energię potencjalną math oddziaływania ciała z Ziemią wyrazimy wzorem

display-math(1)

gdzie g jest wartością natężenia ziemskiego pola grawitacyjnego, a wysokość math wyznaczamy w odniesieniu do poziomu, na którym znajdował się środek walca w chwili początkowej. (Uwaga: Kąt math wyrażamy w radianach, a droga, jaką przebywa środek walca przy obrocie o kąt math wynosi math). Zauważmy, że funkcja math jest liniowa, co związane jest z faktem, że w rozważanym przypadku środek masy walca pozostaje w niezmiennej odległości math od powierzchni równi.

Zależność math komplikuje się, gdy środek ciężkości walca jest przesunięty, czyli gdy math Jeśli założyć, że w chwili początkowej środek ten znajdował się w najniżej położonym punkcie okręgu math to czysto geometryczne związki prowadzą do wzoru:

display-math

i w konsekwencji

display-math(2)

Zauważmy, że oprócz wyrazu występującego we wzorze (1) wzór (2) zawiera dodatkowy człon proporcjonalny do cosinusa kąta math więc okresowo zmienny.

obrazek

Rys. 6 Zależność grawitacyjnej energii potencjalnej math od kąta math dla walca lub kuli nieślizgających się po równi.

Rys. 6 Zależność grawitacyjnej energii potencjalnej math od kąta math dla walca lub kuli nieślizgających się po równi.

Przedstawmy wykres funkcji math dla konkretnych przykładów różniących się wartościami ilorazu math Przyjmijmy: math  kg, math m/s math math cm, math oraz trzy wartości mimośrodu: math cm (tj. walec z nieprzesuniętym środkiem ciężkości), 2 cm oraz 6 cm. Na Rys. 6 przedstawiono wykresy odpowiadające tym przypadkom. Dla pierwszego z nich liniowa funkcja math nie ma żadnego ekstremum ani punktu przegięcia, nie ma więc także położenia równowagi. Gdy math cm, math a funkcja math choć nieliniowa, pozostaje monotoniczna i nadal brak jest położenia równowagi. Jednakże w trzecim rozważanym przypadku math, a funkcja math ma minima (oznaczone na Rys. 6 kółkami) i maksima (oznaczone trójkątami). Wartościom kąta math, przy których występują te ekstrema, odpowiadają stany równowagi.

Stan równowagi, w którym math przybiera lokalne minimum, jest stanem równowagi trwałej. W położeniu tym środek ciężkości walca znajduje się w punkcie math (rys. 4), a fakt ten można sprawdzić doświadczalnie, zaznaczając położenie środka ciężkości na jednej z podstaw walca. Trwałość równowagi oznacza, że walec, odchylony nieznacznie od tego położenia, zmierza do stanu, z którego został wytrącony. Jeśli jednak wychylenie będzie zbyt duże, to walec podąży ku innemu położeniu równowagi trwałej. Obszar otaczający minimum energii potencjalnej nazywamy czasem jamą energii potencjalnej. Im jest ona głębsza, tym więcej energii trzeba, by wyprowadzić ciało ze stanu równowagi. W przypadku walca z przesuniętym środkiem ciężkości głębokość (i szerokość) jamy można w pewnych granicach regulować przez zmianę kąta math. Na przykład, gdy math (równia pozioma), głębokość jamy wynosi math Przy nachylaniu równi, czyli zwiększaniu math, jama staje się coraz to płytsza i zanika, gdy punkty mathmath pokrywają się.

Wartościom kąta math, przy których energia potencjalna przybiera lokalne maksimum, odpowiada stan równowagi chwiejnej (trójkącik na rys. 6): walec wytrącony z tego stanu podąża ku innemu stanowi równowagi. W stanie równowagi chwiejnej środek ciężkości walca znajduje się w punkcie math Podczas doświadczeń wykonywano próby utrzymania walców i kul w stanie równowagi chwiejnej, zadanie to okazywało się jednak równie trudne, jak utrzymanie na palcu ołówka postawionego na ostrzu grafitowego pręcika.

Stabilność i równowaga

W rozwiązaniach architektonicznych i technicznych niemal nie stosuje się stanów równowagi chwiejnej. Zwykle wymagana jest wysoka stabilność – osiąga się ją, projektując budowle i urządzenia w taki sposób, by przyjmowały stany równowagi trwałej z możliwie głębokimi jamami energii potencjalnej. Jednakże istnieją inne niekonwencjonalne sposoby zapewnienia stabilności. Zanim przedstawimy jeden z nich, przypomnijmy, że stan równowagi to pojęcie ogólniejsze niż stan spoczynku. Ciało jest w równowadze nie tylko, gdy spoczywa, lecz także wtedy, gdy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Rozpatrzmy lot samolotu wyposażonego w stateczniki, wychylaniem których steruje pilot za pomocą drążka sterowego. Układ sterowania jest tak zaprojektowany, by samolot był samostateczny, tj. by utrzymywał swój prostoliniowy lot także wtedy, gdy pilot puści drążek. Oznacza to, że podczas lotu wykorzystywany jest stan równowagi trwałej.

obrazek

Samolot F22

Samolot F22

obrazek

Samolot F117

Samolot F117

Okazuje się jednak, że obniżając samosterowność samolotu, lub nawet zupełnie z niej rezygnując, można uczynić go bardziej zwrotnym i zmniejszyć opory jego ruchu, a więc także zużycie paliwa. Możliwe jest to jednak jedynie wówczas, gdy bardzo niewielkie odchylenia samolotu od stanu równowagi są dostatecznie szybko korygowane ruchem stateczników i lotek. Szybkość i precyzja reakcji, jakie zapewnić może pilot, okazują się jednak niewystarczające, więc do przeprowadzania (nieustannych) korekcji lotu stosuje się komputer. Umieszczone w samolocie czujniki, m.in. przyspieszeniomierze i żyroskopy, dostarczają komputerowi danych o odchyleniach od stanu równowagi, a program komputerowy zmienia położenie sterów tak, by lot był stabilny. Tak właśnie działa system „fly-by-wire”, dzięki któremu wojskowe samoloty (np. F22) są zdolne do niesamowitych manewrów, a takie jak F117 w ogóle mogą latać. Istotę tego systemu można porównać do czułego układu, który wykrywając odchylenie ołówka od pionu, analizowałby kierunek i kąt wychylenia i sterowałby ruchem ręki tak, by utrzymywać ołówek w stanie bardzo bliskim stanowi równowagi.

Inną skomplikowaną konstrukcją jest Segway, rodzaj elektrycznej hulajnogi na dwóch kołach osadzonych na wspólnej osi. Również i to urządzenie zachowuje równowagę dzięki czujnikom wyznaczającym zmiany położenia środka ciężkości, żyroskopom i komputerowemu sterowaniu.

Przykłady te pokazują, jak ciekawe może być pozornie proste zagadnienie stabilności i jak można niekonwencjonalnie je rozwiązywać. A zadanie określenia położeń równowagi niejednorodnej bryły okazuje się nietrywialnym problemem, choć do jego rozwiązania wystarczają klasyczne prawa statyki.