Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Jak to działa?

Paradoks Roberta Korzeniowskiego

Andrzej Dragan

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: sierpień 2003
  • Publikacja elektroniczna: 01-01-2013

Rozważmy bardzo szybki, relatywistyczny chód Roberta Korzeniowskiego. Ponieważ wewnątrz obiektów poruszających się z bardzo dużymi prędkościami czas płynie wolniej dla obserwatorów zewnętrznych, należy się spodziewać, że zegarek na ręce Roberta Korzeniowskiego będzie chodził wolniej. Powolniejsze będzie również bicie jego serca. A co można powiedzieć o ruchu jego nóg? Czy im szybciej będzie szedł, tym wolniej poruszać będzie nogami? Czy w granicy prędkości światła wcale nie będzie nimi poruszał? W jaki sposób można chodzić, nie ruszając nogami?

Rzeczywiście, z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego upływ czasu w układzie Roberta Korzeniowskiego (wielkości w tym układzie oznaczać będziemy literkami z primem) jest powolniejszy. Tempo upływu czasu różni się o czynnik math gdzie math jest prędkością chodu. Nie oznacza to jednak, że można przez tenże czynnik skalować prędkości wszystkich ruchów w poruszającym się układzie! Prawo „spowolnionego upływu czasu” o podany czynnik dotyczy obiektów nieruchomych (na przykład zegarów) w poruszającym się układzie odniesienia. Działa ono dobrze również dla obiektów poruszających się powoli w układzie primowanym. Ponieważ jednak ruch nóg w układzie primowanym musi być równie szybki jak ruch piechura, musimy dokonać transformacji Lorentza współrzędnych określających położenie nóg oraz środka masy chodziarza niezależnie. W tym celu wprowadzimy najprostszy z możliwych model chodu.

obrazek

W całym problemie ważne są naprawdę tylko trzy punkty: środek masy math i położenie dwóch stóp ( math i math ). Rozważmy sytuację z punktu widzenia Roberta Korzeniowskiego (czyli w układzie primowanym). Przedstawia ją rysunek  obok.

W tym układzie środek masy math jest nieruchomy, chodnik porusza się do tyłu z pewną prędkością math stopa aktualnie dotykająca ziemi math również porusza się z prędkością math a druga stopa, przenoszona do przodu math porusza się z prędkością math Zgodnie z przepisami chodu sportowego w każdej chwili co najmniej jedna stopa musi dotykać ziemi. Dlatego Robert Korzeniowski chcąc iść jak najszybciej, stawiając jedną stopę jednocześnie odrywa drugą. Powiedzmy, że w chwili math stopa odrywana znajduje się w punkcie math a stopa stawiana w punkcie math  Natomiast przez cały czas środek masy math znajduje się w punkcie math Zmiana stóp następuje w chwili math Przez następne math ruch jest cyklicznie powtarzany.

Jak wygląda chód z punktu widzenia obserwatora stojącego na chodniku (układ nieprimowany), dla którego środek masy Roberta Korzeniowskiego porusza się zgodnie z równaniem math  Sprawdźmy najpierw za pomocą transformacji Lorentza, jak wyglądają czasoprzestrzenne współrzędne opisujące stawianie i odrywanie stóp. Rozpocznijmy od pierwszego tupnięcia: stopa math postawiona zostaje w punkcie

display-math

a stopa math oderwana w punkcie

display-math

czyli krok staje się dłuższy. Okazuje się jednak, że stopy są stawiane i odrywane w różnych chwilach: stopa math zostaje oderwana w chwili

display-math

jeszcze zanim zostanie postawiona stopa math co ma miejsce w chwili

display-math

(nawiasem mówiąc może to być przyczyną dyskwalifikacji Roberta Korzeniowskiego, mimo iż ten twierdzi, że stopy zmieniał jednocześnie). Rozważmy teraz drugie tupnięcie, w którym stopa math zostaje postawiona w punkcie

display-math

a stopa math oderwana w punkcie

display-math

zatem krok jest znowu dłuższy. Odpowiednie chwile odpowiadające tym zdarzeniom to

display-math

oraz

display-math

Następnie proces powtarzany jest cyklicznie. Sprawdźmy teraz, że czas oderwania stopy od ziemi wynosi:

display-math

natomiast czas, w którym druga stopa dotyka ziemi, to:

display-math

Możemy teraz odpowiedzieć już w pełni na pytanie, co dzieje się z nogami podczas relatywistycznego chodu według naszego prostego modelu. Czas trwania pełnego kroku, w którym stopa jest przenoszona, a następnie spoczywa na ziemi, wynosi:

display-math

i jest dłuższy od czasu math  widzianego przez Roberta Korzeniowskiego: math Zatem odpowiedź na pytanie, czy im szybciej idziemy, tym wolniej ruszamy nogami, dla zewnętrznego obserwatora jest, paradoksalnie, twierdząca! W granicy math czas trwania pełnego kroku staje się wręcz nieskończony! Jest i druga ciekawa obserwacja: w tej granicy obie stopy przez większość czasu „fruną w powietrzu”, robiąc ogromne kroki i prawie wcale nie dotykając ziemi.

To ostatnie stwierdzenie staje się wręcz oczywiste, gdy zdamy sobie sprawę, że w układzie Roberta Korzeniowskiego cały zewnętrzny świat (zatem również chodnik) się skraca. I mimo że długość kroku według Korzeniowskiego jest zwyczajna, to skracanie chodnika powoduje, iż każdy krok wiąże się z pokonaniem ogromnego dystansu. Nic więc dziwnego, że z punktu widzenia sędziów kroki piechura stają się nienaturalnie długie. Ponieważ jednak nogi Korzeniowskiego nie mogą się wydłużać, to jedyną możliwością zrealizowania tej sytuacji jest bieg z wydłużoną fazą lotu.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24