Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Stabilność Układu Słonecznego

Henryk Żołądek

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: wrzesień 2016
  • Publikacja elektroniczna: 1 września 2016
  • Autor: Henryk Żołądek
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
  • Wersja do druku [application/pdf]: (59 KB)
obrazek

Godfrey Kneller (1689)

Isaac Newton (1642-1726)

Godfrey Kneller (1689)

Isaac Newton (1642-1726)

Od czasów Newtona znane są prawa rządzące ruchem ciał podlegających siłom przyciągania grawitacyjnego. Dla izolowanego układu N ciał dostajemy układ 3N równań różniczkowych drugiego rzędu (po trzy na współrzędne środka masy każdego ciała), który ma jednoznaczne rozwiązanie przy zadanych położeniach i prędkościach początkowych. W istocie, można ograniczyć się do układu współrzędnych związanego ze środkiem masy całego układu i liczba równań redukuje się do |3(N − 1): Tak precyzyjnie sformułowane zagadnienie nosi nazwę problemu |N ciał.

obrazek

wikipedia

Johannes Kepler (1571-1630)

wikipedia

Johannes Kepler (1571-1630)

Niestety, ścisłe rozwiązania tych równań zostały znalezione tylko w szczególnych przypadkach. Najważniejszym z nich jest zagadnienie Keplera, czyli problem dwóch ciał. Z pierwszego prawa Keplera (zasada zachowania momentu pędu) wynika, że oba ciała poruszają się w nieruchomej płaszczyźnie. Całkowanie odpowiednich równań w biegunowym układzie współrzędnych r,φ (w tej płaszczyźnie) pokazuje, że trajektoria każdego ciała jest opisana równaniem postaci

 A r = 1+-εcosφ-,

gdzie A jest amplitudą, a e | > 0 jest mimośrodem orbity. Powyższe równanie opisuje krzywą stożkową. Dla | e < 1 jest to elipsa z ogniskiem w środku masy, a odpowiednie rozwiązania układu Newtona są okresowe.

Ciekawe rozwiązanie zagadnienia trzech ciał zostało znalezione przez Lagrange'a. Tutaj trzy ciała leżą w wierzchołkach trójkąta równobocznego obracającego się wokół środka masy w ustalonej płaszczyźnie.

Naturalnym układem grawitacyjnym jest nasz Układ Słoneczny (z dyskusyjną, ale znacznie większą od 2 liczbą N ). Mimo iż nikt nie porywał się na rozwiązywanie skomplikowanego układu równań z nim związanego, to jednak problemu stabilności naszego sytemu nie można zignorować. Jest to pytanie, czy układ planetarny będzie zachowywał obecny kształt w odległej przyszłości, czy któraś z planet może go opuścić lub jakaś kolizja może spowodować jego dramatyczną zmianę.

Ta kwestia stała się swego rodzaju obsesją XIX wieku i była na tyle istotna, że w 1885 roku król szwedzki, Oskar II, ufundował nagrodę za postęp w tej sprawie. Nagrodę dostał Henri Poincaré, ale trzeba uczciwie powiedzieć, że ani on, ani nikt inny do tej pory nie podał ścisłego matematycznego dowodu stabilności układu N ciał. W tym miejscu należy wymienić także nazwiska Karla Weierstrassa, Sophie Kowalewskiej i Petera Dirichleta, którzy aktywnie pracowali nad tym problemem.

Metoda stosowana przez XIX-wiecznych matematyków startowała od szeregów typu Fouriera. W pierwszym przybliżeniu zakładano, że Słońce jest nieruchome, a każda z planet porusza się ruchem okresowym (z okresem |2π/ω ) po orbicie eliptycznej. Zatem położenie i -tej planety zadane jest szeregiem Fouriera

 ∞ Q Amcos(m m

z wektorami Am i Bm | zależnymi od danych początkowych. Następnie sukcesywnie uwzględniano się siły wzajemnych oddziaływań planet i ruch samego Słońca. Wprowadzenie tych zaburzeń prowadzi do tzw. szeregów Poincarégo. Niestety, nie można w rozsądny sposób zapewnić zbieżności tych szeregów.

Pewien postęp w tej sprawie uzyskano dopiero na przełomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX wieku - jest on znany jako twierdzenie KAM od nazwisk jego twórców: Andrieja Kołmogorowa, Władimira Arnolda i Jürgena Mosera. Ale o tym napiszę w następnym numerze Delty.