Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Interpolacja fraktalna, czyli dwukrotne fałszerstwo na zamówienie

Irmina Herburt i Paweł Rzążewski

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: lipiec 2011
  • Publikacja elektroniczna: 01-07-2011
  • Autor: Irmina Herburt
    Afiliacja: Wydział Matematyki i Nauk~Informacyjnych, Politechnika Warszawska
    Autor: Paweł Rzążewski
    Afiliacja: Wydział Matematyki i Nauk~Informacyjnych, Politechnika Warszawska
  • Wersja do druku [application/pdf]: (430 KB)
obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Urządzenie pomiarowe zmierzyło wartości pewnej wielkości w czterech momentach (Rys. 1). Wiemy więc bardzo niewiele o zależności tej wielkości od czasu.

Mimo to chcielibyśmy odtworzyć brakujące punkty wykresu, kierując się następującymi informacjami:

  • pomiędzy każdymi dwoma kolejnymi punktami dzieje się tak dużo, jak pomiędzy pierwszym i ostatnim, tzn. kawałki wykresów pomiędzy kolejnymi punktami są takie, jak cały wykres po odpowiednim „przeskalowaniu”,
  • wykres funkcji jest linią ciągłą.

Z wielu możliwych funkcji, które spełniają powyższe warunki, wybierzemy taką, która da się łatwo opisać. Punkty z wykresu tej funkcji potraktujemy jako uzupełnienie brakujących danych. Będzie to więc świadome fałszerstwo.

Konstrukcja interpolacji fraktalnej

  • Tworzymy łamaną łączącą kolejne punkty math Otrzymujemy w ten sposób interpolację kawałkami liniową math
  • Otrzymaną łamaną math przeskalujemy (zwęzimy i ściśniemy) i wstawimy pomiędzy punkty math  i math  (Rys. 3). Podobnie łamaną math przekształcimy i wstawimy kolejno pomiędzy punkty math i math  oraz math  i math
  • W każdym następnym kroku powtarzamy te same czynności: krzywą otrzymaną w kroku poprzednim odwzorowujemy przekształceniem math pomiędzy punkty math  i math przekształceniem math  pomiędzy punkty math i math  oraz przekształceniem math  pomiędzy punkty math  i math

Im więcej tych kroków wykonamy, tym dokładniejsze przybliżenie granicznej krzywej fraktalnej dostaniemy. W granicznej krzywej math  każdy kawałek pomiędzy punktami math  oraz math  dla math  2 lub 3, jest podobny (afinicznie) do całości, a cała krzywa jest sumą swoich trzech kopii: math

Cały artykuł dostępny jest w formacie pdf.