Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Algebra Mała Delta

    Pierwiastkowanie pod kreską

    Każdy z nas obcował z działaniami pisemnymi na liczbach naturalnych - dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem. Z pisemnym potęgowaniem można się rozprawić, wielokrotnie stosując pisemne mnożenie. Dzieląc dwie liczby całkowite, możemy otrzymać pełne rozwinięcie dziesiętne (okresowe lub skończone) albo uzyskać dowolną dokładność wyniku. Tak, działania pisemne są sprytne. A co z pierwiastkowaniem? Czy istnieje metoda na pisemne wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby  √ --- | 17? Odpowiedź brzmi: tak.

  2. obrazek

    Algebra

    Symetrie ciał i grupy: teoria Galois

    Poniższa opowieść była na tyle ważna dla młodego, zaledwie dwudziestoletniego, matematyka Évariste'a Galois, że poświęcił ostatni dzień przed pojedynkiem, aby spisać ją w liście do przyjaciela. Niestety, nie dostał od losu szansy na kontynuowanie swoich prac, ale jakiś czas po jego śmierci matematycy zrozumieli znaczenie jego pomysłów. Ślady teorii, z której zarysem Czytelnik zapoznać się może w dalszej części artykułu, odnaleźć można w wielu gałęziach współczesnej matematyki. Jej bezpośrednim następstwem jest wiele efektownych rozwiązań problemów, których ludzkość szukała przez setki lat: nierozwiązalność (przez pierwiastniki) równań wielomianowych stopnia 5 lub wyższego, niekonstruowalność pewnych wielokątów foremnych (cyrklem i linijką), a także niewykonalność klasycznych konstrukcji geometrycznych, czyli podwojenia sześcianu, trysekcji kąta i kwadratury koła.

  3. Algebra

    Combinatorial Nullstellensatz w teorii liczb

    W Delcie 7/2017 przedstawiliśmy kilka "olimpijskich" zastosowań twierdzenia Combinatorial Nullstellensatz. Okazuje się, że zamiast "zwykłych" wielomianów wielu zmiennych możemy rozważać wielomiany o współczynnikach będących resztami z dzielenia przez pewną liczbę pierwszą |p; z dodawaniem i mnożeniem modulo p: Poniżej przedstawimy trzy klasyczne twierdzenia, których proste dowody są oparte na Combinatorial Nullstellensatz w wersji "resztowej". Twierdzenia te są szczególnie bliskie zastosowaniom olimpijskim.

  4. obrazek

    Algebra Jak to działa?

    Maszyna różnicowa

    Dlaczego w szkole tak dużo uczymy się o wielomianach? Są dwa podstawowe powody. Pierwszy z nich - całkiem zrozumiały - po prostu jest to niemal największa klasa funkcji, których wartości umiemy obliczać. Potrafimy jeszcze dzielić wartości wielomianów, ale z pozostałymi funkcjami, które występują w programie szkolnym, a później na studiach, w zasadzie mielibyśmy sporo problemów.

  5. Algebra

    Najłatwiejsze zadanie?

    Na drugim etapie tegorocznej Olimpiady Matematycznej pojawiło się pewne zadanie. Pojawiło się ono na zawodach z numerem 1 i (zgodnie z oczekiwaniami) okazało się bardzo łatwe - rozwiązała je znacząca większość uczestników. Przedstawimy szkic rozwiązania... x

  6. Algebra Co to jest?

    Liczby zespolone i kwaterniony

    Tak jak problemy praktyczne prowadzą do równań, tak równania prowadzą czasem do nowych rodzajów liczb. Ambitny kmieć z czasów Mieszka I, będący właścicielem trzech krów i marzący o nabyciu (lub zdobyciu) dodatkowych sztuk bydła tak, by stać się szanowanym posiadaczem tuzina krów, musiał niewątpliwie rozwiązywać zadanie matematyczne, które dziś zapisujemy równaniem 3 + x = 12: Gdy zamienimy występujące tu liczby miejscami, otrzymamy równanie x + 12 = 3; które "nie da się rozwiązać": gołym okiem widać, że wśród liczb, za pomocą których zwykliśmy liczyć krowy (czyli liczb naturalnych), nie znajdzie się żadna, która by spełniała to równanie...

  7. obrazek

    Paolo Ruffini (1765-1822)

    Paolo Ruffini (1765-1822)

    Algebra

    Równania algebraiczne

    Równania algebraiczne, czyli takie, które można zapisać, przyrównując wielomian do zera, intrygowały ludzi od bardzo dawna. Rozwiązywaniem równań zajmowano się już w czasach starożytnych. W szkole uczą nas, jak rozwiązywać równania liniowe i kwadratowe, to jest takie, w których występuje funkcja liniowa (wielomian stopnia pierwszego) albo funkcja kwadratowa (wielomian stopnia drugiego). Matematycy włoscy podali w XVI wieku wzory na pierwiastki równań stopnia trzeciego i czwartego. A co z równaniami wyższych stopni?

  8. obrazek

    wikipedia

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    wikipedia

    Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

    Algebra Co to jest?

    Liczby zespolone i kwaterniony

    Rozwiązywanie równań wymuszało poszerzenie zasobu liczb, jakimi się posługiwano. Równanie x + 3 = 12 można było rozwiązać, posługując się najnaturalniejszymi liczbami, zwanymi zresztą naturalne, ale równanie |x + 12 = 3 wymagało rozszerzenia ich zasobu do liczb całkowitych. Wyjście poza obręb równań pierwszego stopnia pokazało, że do rozwiązania np. równania  2 |x − 2 = 0 nie wystarczą nie tylko liczby całkowite, ale nawet wszystkie liczby wymierne, czyli ułamki a/b zbudowane z liczb całkowitych. Aby uzyskać rozwiązanie, do liczb wymiernych trzeba dołączyć nowe liczby, a wśród nich liczbę niewymierną  -- √ 2:

  9. Kombinatoryka

    Teoria grup w kombinatoryce

    Ten artykuł będzie poświęcony zliczaniu różnych kolorowań obiektów, które podlegają symetrii. Wyobraźmy sobie, że Kalina chciałaby pokolorować rogi kwadratu za pomocą m kolorów. Ile różnych figur może w ten sposób otrzymać?

  10. Algebra

    O grupie warkoczy

    Grupa warkoczy była rozważana po raz pierwszy przez Adolfa Hurwitza w roku 1885, jednak nie pod tą nazwą; w grupie rozważanej przez Hurwitza trudno było dopatrzyć się warkoczy. Nazwę wprowadził Emil Artin w roku 1925, bo w jego interpretacji elementy grupy kojarzą się z warkoczami. Przypomnę, jak się je zaplata...

  11. Algebra Czegóż dawniej uczono

    Twierdzenie Sturma

    Rozważamy wielomian w o współczynnikach rzeczywistych stopnia n: Wiadomo, że wielomian taki ma n pierwiastków zespolonych; niektóre z nich (czasami wszystkie) są, być może, rzeczywiste. Twierdzenie Sturma pozwala obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianu w należących do wybranego przedziału ⟨a;b⟩: Oczywiście, odpowiedź na to pytanie możemy uzyskać, stosując metodę badania funkcji wielomianowej w ; znaną z analizy matematycznej. Metoda Sturma jest czysto algebraiczna, nie stosuje metod analizy matematycznej.

  12. Algebra

    Logarytm – logika i rytm?

    Dodawanie jest łatwe. Każdy się z tym zgodzi. Ot, zapisujemy dodawane liczby jedna pod drugą, dodajemy kolejne cyfry, bacząc na przeniesienia i to wszystko. Gorzej jest z mnożeniem...

  13. Algebra

    Zadania z indywidualnością

    Matematyka, zwłaszcza tzw. szkolna, wypracowała przez lata procedury rozwiązywania określonego typu zadań. Gdy rozpoznajemy problem jako równanie kwadratowe, w głowie pojawia się hasło "bekwadratminusczteryace" i już wszystko wiadomo, niezależnie od tego, jak w rzeczywistości nazwaliśmy współczynniki funkcji kwadratowej...