Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O tym, czego nie ma

Dlaczego w przestrzeni trójwymiarowej nie ma przyzwoitego mnożenia?

Zbigniew Marciniak

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 1996
  • Publikacja elektroniczna: 20-03-2011

Płaszczyznę math można wyposażyć w działania dodawania i mnożenia jej punktów. Dlaczego nie można tego zrobić z przestrzenią math?

Wszyscy uczyliśmy się w szkole dodawać i mnożyć liczby rzeczywiste. Łatwo wymienić podstawowe własności tych działań:

(a)
dodawanie jest łączne, przemienne i ma element neutralny; dla każdego elementu math istnieje element przeciwny math;
(b)
mnożenie jest łączne, przemienne i ma element neutralny math; dla każdego elementu math istnieje element odwrotny math;
(c)
mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

Oprócz zbioru liczb rzeczywistych math w szkole poznaliśmy też zbiory liczb naturalnych math całkowitych math i wymiernych math Chociaż w każdym z nich możemy liczby dodawać i mnożyć, tylko math obok math, spełnia wszystkie wymagania (a)–(c). Matematyk powie krótko, że zbiory math i math są ciałami, a zbiory math i math ciałami nie są.

Przykładem ciała większego od math jest zbiór liczb zespolonych math Przypomnijmy, że liczbami zespolonymi nazywamy wyrażenia postaci math gdzie math Liczby te dodajemy i mnożymy podobnie jak wielomiany z wykorzystaniem dodatkowej relacji: math Nietrudno sprawdzić, że tak określone działania mają własności (a)–(c), tj. math jest ciałem.

Ponieważ każda liczba zespolona math jest w istocie parą liczb rzeczywistych math zbiór math możemy uznać za płaszczyznę math wyposażoną w działania dodawania i mnożenia jej punktów. Przy powyższej interpretacji działania te wyrażają się wzorami math oraz math

Zauważmy, że powyższe dodawanie można łatwo uogólnić na przestrzeń trójwymiarową math: należy trójki liczb dodawać jak wektory, tj. „ po współrzędnych” math

Powstaje ciekawe pytanie: czy przestrzeń trójwymiarową math można wyposażyć dodatkowo w działanie mnożenia, które by wraz z takim dodawaniem spełniało warunki (a)–(c)? Chcielibyśmy przy tym, by to mnożenie było też zgodne z istniejącym w math mnożeniem przez skalary, tj. aby zachodziły równości math dla dowolnych math oraz mathtakim mnożeniu mówimy, że jest dwuliniowe.

Udowodnimy

Twierdzenie. W przestrzeni math nie istnieje mnożenie, które by wraz z dodawaniem „po współrzędnych” spełniało warunki (a)–(c).

Dowód poprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy, że przestrzeń math ma takie mnożenie. O elementach math będzie nam wygodnie myśleć, jak o wektorach zaczepionych w punkcie math

Z warunku (b) wynika, że jeden z wektorów jest jedynką mnożenia – oznaczymy go przez  math. Niech math będzie prostą naciągniętą na tym wektorze, tj. math Dla dowolnego wektora math oznaczmy przez math płaszczyznę naciągniętą na parze wektorów math, math . Najpierw zauważmy, że zachodzi

Lemat 1. Niech math Jeśli jego kwadrat math należy do płaszczyzny math to math jest podzbiorem zamkniętym względem dodawania, odejmowania, mnożenia i brania odwrotności.

Dowód. Oczywiście, płaszczyzna zawierająca punkt  math jest zamknięta względem dodawania i odejmowania wektorów.

Każdy element math jest postaci math dla pewnych math Kiedy pomnożymy dwa takie wyrażenia i otworzymy nawiasy, otrzymamy kombinację wektorów math, math , math Ponieważ każdy z nich leży w math więc iloczyn naszych wyrażeń też tam się znajdzie.

Pozostało wykazać, że jeśli math oraz math to math Jeśli math to math W przeciwnym przypadku math a zatem math Ponieważ wiemy już, że math jest zamknięte względem mnożenia, to math tj. math dla pewnych math

Jeśli jest math to math a zatem math To jest jednak niemożliwe, ponieważ oba czynniki są różne od zera. Mamy więc math a stąd math
Zatem math


A teraz zauważymy, że sytuacja z poprzedniego lematu... nigdy nie zachodzi.

Lemat 2. Jeśli math to math

Dowód. Przypuśćmy, że math i weźmy dowolny wektor math Wtedy wektory math rozpinają całą przestrzeń math W szczególności, wektor math może być zapisany jako ich kombinacja: math Ale wtedy math czyli math Z Lematu 1 wiemy, że wyrażenie po prawej stronie należy do math Zatem math wbrew założeniu.


Dokończenie dowodu twierdzenia. Weźmy dowolny wektor math Z Lematu 2 wnosimy, że wektory math rozpinają przestrzeń math Zatem wektor math jest ich kombinacją: math

Rozważmy funkcję math math Ponieważ math dla wielkich liczb ujemnych oraz math dla wielkich liczb dodatnich, więc istnieje taka liczba math że math Wobec tego mamy tożsamość math Podstawiając wektor math w miejsce zmiennej math otrzymujemy

display-math

Z założenia oraz z Lematu 2 wynika, że obydwa czynniki są różne od zera. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.


Uwaga dla koneserów: w dowodzie nie użyliśmy przemienności mnożenia. A zatem przestrzeń math nie ma nawet struktury nieprzemiennej algebry z dzieleniem

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24