Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O tym, czego nie ma

Wielomian, który nie ma pierwiastków

Paweł Strzelecki

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 1996
  • Publikacja elektroniczna: 20-03-2011
  • Autor: Paweł Strzelecki
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski

Jak wiele innych ważnych twierdzeń matematyki, zasadnicze twierdzenie algebry, udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa w ostatnim roku osiemnastego stulecia, informuje nas, że pewne obiekty nie istnieją. Mianowicie, nie ma takiego, różnego od stałej, wielomianu zmiennej zespolonej, który nie znikałby w żadnym punkcie płaszczyzny zespolonej math

Dziś znanych jest wiele dowodów zasadniczego twierdzenia algebry, chciałoby się rzec, jeden piękniejszy od drugiego. Żaden, niestety, nie nadaje się do tego, by zwięźle i ze  wszystkimi niezbędnymi szczegółami przedstawić go Czytelnikom Delty. Dla ciekawych – szkic dwóch różnych dowodów nie korzystających wcale z metod algebraicznych.

obrazek

Pierwszy dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Dowód opiera się na dwóch lematach, z których zasadnicze twierdzenie algebry wynika natychmiast.

Lemat 1. Jeśli math jest wielomianem, to istnieje taki punkt math w którym funkcja mathosiąga swój kres dolny.

Dowód. Wystarczy zauważyć, że dla punktów math leżących poza dużym kołem domkniętym math moduł wielomianu jest duży, zatem kresy dolne zbiorów math i math są równe. Funkcja math jest ciągła, więc na zwartym zbiorze math osiąga swój kres dolny.


Lemat 2. Niech math będzie wielomianem niezerowego stopnia. Jeśli math jest takim punktem, że math dla wszystkich math to wtedy math

Dowód tego lematu jest trudniejszy i znacznie bardziej techniczny, lecz można go przeprowadzić dysponując jedynie elementarną wiedzą o liczbach zespolonych.


Dowód. Najprościej jest dokonać reductio ad absurdum a robi się to tak. Mnożąc w razie potrzeby wielomian przez stałą i przesuwając jego wykres, można założyć, że math math Przypuśćmy też, że wielomian math nie zawiera dodatnich potęg math mniejszych od math-tej, math Zatem math Wtedy, dla math mamy math Zatem math dla małych math Nietrudno teraz wykazać, że dopisanie pod modułem pozostałych wyrazów wielomianu nic nie popsuje: jest ich skończenie wiele i wszystkie są blisko zera nieskończenie mniej ważne niż math Dokładny dobór math zostawiamy wytrwałym Czytelnikom.


Drugi dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Ten dowód wykorzystuje tzw.

Twierdzenie (Liouville’a). Załóżmy, że math jest funkcją ograniczoną. Jeśli math jest różniczkowalna w każdym punkcie, tzn. dla każdego math istnieje granica

display-math

to math jest tożsamościowo równa pewnej stałej.

Dowód tego faktu można znaleźć w dowolnym podręczniku teorii funkcji zmiennej zespolonej. Warto zauważyć, że gdy liczby zespolone zastąpić rzeczywistymi, to twierdzenie Liouville’a będzie fałszywe (przykład: math).

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry. Przypuśćmy teraz, że math jest takim wielomianem zmiennej zespolonej, że math dla wszystkich math Nietrudno wtedy zauważyć, że funkcja dana wzorem math spełnia wszystkie założenia twierdzenia Liouville’a (ograniczoność funkcji math wynika, podobnie jak Lemat 1 w pierwszym dowodzie, z obserwacji, że moduł wielomianu nie może być mały na zewnątrz pewnego dużego koła). Zatem, math a więc także math co kończy dowód.


Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24