Przeskocz do treści

Delta mi!

O tym, co się da, a czego nie da się rozwiązać

Maciej Bryński

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: wrzesień 2013
  • Publikacja elektroniczna: 31-08-2013
  • Autor: Maciej Bryński
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
  • Wersja do druku [application/pdf]: (93 KB)

Rozwiąż równanie! – to jedno z najczęściej słyszanych przez ucznia poleceń nauczyciela matematyki. Gdy usłyszymy to polecenie, nie wątpimy, że otrzymane równanie można rozwiązać i że my potrafimy to zrobić. Zresztą o każdym zadaniu matematycznym, na które natrafimy, uważamy, że można je rozwiązać. Jeśli nie widzimy rozwiązania od razu, to pewnie trzeba jeszcze trochę pomyśleć, pokombinować, wynaleźć jakiś sprytny sposób, może poczytać w mądrych książkach i rozwiązanie musi się znaleźć. Czy na pewno tak jest? Okazuje się, że istnieją zadania, niedające się rozwiązać, choć są łudząco podobne do innych, które rozwiązujemy bez trudu.

Weźmy pod uwagę równanie

display-math(*)

Wygląda całkiem niewinnie. Szkolny sposób na takie równania podpowiada: sprawdź, czy któryś spośród dzielników wyrazu wolnego nie jest rozwiązaniem, bo tylko takie liczby mogą być rozwiązaniami wymiernymi równania. Tymi dzielnikami są liczby math Oznaczamy math i obliczamy

pict

Możemy stwierdzić, że żadna liczba wymierna nie jest rozwiązaniem równania math Jednocześnie widzimy, że nasze równanie ma co najmniej trzy rozwiązania rzeczywiste leżące odpowiednio w przedziałach math i  math gdyż funkcja math jest ciągła i na końcach każdego z przedziałów przyjmuje wartości przeciwnych znaków, więc wewnątrz przedziału ma miejsce zerowe. Badając przebieg zmienności funkcji math można stwierdzić, że nie ma ona więcej miejsc zerowych. Oznacza to, że równanie math ma trzy pierwiastki rzeczywiste i dwa zespolone. Te informacje pozwalają stwierdzić, że równania tego nie można rozwiązać „przez pierwiastniki”, tj. nie można wyrazić jego pierwiastków przez wzory, w których na liczbach wymiernych byłyby wykonywane operacje wyciągania pierwiastków dowolnych stopni oraz działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, wielokrotnie iterowane. Niestety, dowód tego faktu nie zmieściłby się na stronach tego numeru Delty; można go znaleźć w literaturze (np. Jerzy Browkin, Wybrane zagadnienia algebry, czy Maciej Bryński, Elementy teorii Galois). Wiemy z nauki szkolnej, że pierwiastki równania kwadratowego math wyrażają się przez pierwiastniki:

display-math

Istnieją też wzory pozwalające wyrazić przez pierwiastniki pierwiastki dowolnego równania stopnia trzeciego, a także czwartego. Wzory te są jednak na tyle skomplikowane, że niezbyt nadają się do praktycznego stosowania. Niestety, dla równań wyższych stopni wzory takie nie istnieją, co ilustruje przykład równania math

Nie znaczy to jednak, że żadnego równania stopnia piątego lub wyższego nie potrafimy rozwiązać.

Przykład 1. Rozwiążemy równanie

display-math(**)

Zauważmy, że równanie to ma pierwiastek math Istotnie

display-math

Dzielimy wielomian math przez math i dostajemy wielomian math Aby rozwiązać równanie math podzielimy obie strony przez math (możemy to zrobić bezkarnie, gdyż 0 nie jest pierwiastkiem tego równania) i do otrzymanego równania math zastosujemy podstawienie math Ponieważ math więc równanie przyjmuje postać math Rozwiązujemy: math math math Dostajemy stąd dwa równania math i  math które przekształcamy do postaci równoważnych math i  math Rozwiązujemy je kolejno: math math math math math math Ostatecznie więc pierwiastkami równania math są liczby math

Do nierozwiązalności równań algebraicznych przez pierwiastniki podobna jest sytuacja z niewykonalnością pewnych konstrukcji geometrycznych. Klasyczna konstrukcja geometryczna na płaszczyźnie, gdy dany jest pewien zbiór punktów, polega na wielokrotnym iterowaniu następujących czynności:

  • przez dwa punkty z tego zbioru możemy poprowadzić prostą,
  • możemy wykreślić okrąg, którego środkiem jest punkt dany, a promień jest równy odległości dwóch danych punktów,
  • punkty przecięcia takich prostych i okręgów dodajemy do zbioru danych.

Zauważmy, że punkt przecięcia dwóch prostych ma współrzędne będące rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych (mianowicie równań tych prostych). Wynika stąd, że współrzędne tego punktu należą do tego samego ciała liczbowego, z którego pochodzą współczynniki równań, a zatem do tego ciała liczbowego, do którego należą współrzędne punktów wyznaczających rozważane proste.

Inaczej jest w przypadku punktu przecięcia prostej i okręgu albo punktu przecięcia dwóch okręgów. Równanie prostej jest równaniem liniowym postaci math równanie okręgu – równaniem kwadratowym math Wyznaczając jedną z niewiadomych math lub math z pierwszego równania i podstawiając do drugiego, otrzymamy równanie kwadratowe, którego współczynniki należą do ciała liczbowego, z którego pochodzą współczynniki rozważanych równań prostej i okręgu. Pierwiastki równania kwadratowego mogą nie należeć do ciała liczbowego, z którego pochodzą współczynniki tego równania, gdyż do ich obliczenia trzeba wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z wyróżnika math Na przykład, równanie math ma współczynniki wymierne, ale math math math math a więc pierwiastki należą do ciała liczbowego math zawierającego liczby postaci math  gdzie math  są liczbami wymiernymi.

Podobnie w przypadku punktów przecięcia dwóch okręgów. Układ równań dwóch okręgów math i  math jest równoważny układowi powstałemu przez pozostawienie jednego z danych równań i zastąpienie drugiego przez ich różnicę. Różnica równań dwóch przecinających się okręgów jest równaniem prostej przechodzącej przez punkty przecięcia tych okręgów. Sprowadziliśmy w ten sposób wyznaczanie punktów przecięcia dwóch okręgów do przypadku wyznaczania punktów przecięcia okręgu i prostej. Tu więc również współrzędne tych punktów należą albo do ciała liczbowego zawierającego współczynniki równań, albo do rozszerzenia tego ciała o pierwiastek kwadratowy z pewnego elementu tego ciała.

Biorąc pod uwagę te obserwacje, możemy stwierdzić, że jeśli math  jest ciałem liczbowym, do którego należą współrzędne wszystkich punktów danych do wykonania pewnej konstrukcji, i możemy skonstruować punkt math to liczby math należą do pewnego ciała, które powstaje przez rozszerzenie ciała math  w wyniku skończonej liczby dołączania pierwiastków kwadratowych (mówimy, że liczby math wyrażają się przez pierwiastniki kwadratowe). Na tej podstawie możemy wywnioskować, że pewnych konstrukcji nie można wykonać cyrklem i linijką.

Należy tu wymienić trzy zadania wywodzące się ze starożytności: trysekcja kąta, podwojenie sześcianu, kwadratura koła. Zajmijmy się bliżej pierwszym z tych zadań.

Przykład 2. Zadanie trysekcji kąta: dany kąt podzielić konstrukcyjnie na trzy równe części. (Pytanie o wykonalność tej konstrukcji jest naturalne, bo podział kąta na dwie lub cztery równe części jest jedną z najprostszych konstrukcji: należy podzielić kąt jego dwusieczną i ewentualnie dwusieczną połowy danego kąta.)

obrazek

Mając dany kąt, możemy skonstruować jego kosinus. Umieśćmy w tym celu dany kąt math w układzie współrzędnych w ten sposób, by jedno ramię pokrywało się z dodatnią półosią osi math  i wykreślmy okrąg o środku w początku układu i promieniu 1, a następnie zrzutujmy punkt przecięcia drugiego ramienia kąta z okręgiem na oś math

Współrzędna math tego rzutu jest kosinusem kąta math Podobnie mając daną liczbę math możemy skonstruować kąt, którego kosinus jest równy math Wystarczy z punktu math leżącego na osi math  wystawić prostopadłą do tej osi i przez punkt przecięcia tej prostej z okręgiem jednostkowym poprowadzić półprostą o początku w punkcie math Ta półprosta wraz z dodatnią półosią osi math  wyznacza kąt math Wobec tego pytanie o wykonalność trysekcji kąta math jest równoważne pytaniu o konstruowalność liczby math Ze znanych wzorów trygonometrycznych mamy

display-math

więc math spełnia zależność

display-math

jest więc pierwiastkiem wielomianu

display-math

którego współczynniki należą do ciała liczbowego zawierającego liczby wymierne i liczbę math

Jeśli wielomian math  jest nierozkładalny nad tym ciałem, to ponieważ jest stopnia trzeciego, więc jego pierwiastków nie można wyrazić przez pierwiastniki kwadratowe. To oznacza niewykonalność trysekcji.

Najprostszym przykładem kąta, którego trysekcja jest niewykonalna, jest kąt math Istotnie, math Wielomian math ma współczynniki z ciała liczb wymiernych i jest nierozkładalny nad tym ciałem. Gdyby bowiem był rozkładalny, to również wielomian math byłby rozkładalny, jeden z czynników tego rozkładu byłby stopnia pierwszego, skąd wynikałoby, że wielomian miałby pierwiastek wymierny. Pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogłyby być liczby math a jak można bezpośrednio sprawdzić, żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Inaczej jest z kątem math Ponieważ math więc wielomian math jest rozkładalny. Zatem trysekcję kąta math  można przeprowadzić, choć zamiast konstrukcji podziału tego kąta na trzy równe części możemy podać bezpośrednią konstrukcję kąta math : konstruujemy trójkąt równoboczny i prowadzimy dwusieczną jego kąta wewnętrznego.

Niewykonalność trysekcji kąta oznacza tyle: nie można za pomocą cyrkla i linijki podzielić dowolnego kąta na trzy równe części. Powtórzmy: w konstrukcji klasycznej linijki wolno używać jedynie do kreślenia prostej przez dane dwa punkty, cyrkla – do kreślenia okręgu o środku w danym punkcie i promieniu równym odległości dwóch danych punktów.

Okazuje się, że nieznacznie wzbogacając możliwości wykorzystania cyrkla i linijki, można wykonać konstrukcje niewykonalne w sensie klasycznym. Archimedes zaproponował wykonanie trysekcji dowolnego kąta za pomocą cyrkla i linijki, na której zaznaczono dwa punkty. Robi się to tak. Mając dany dowolny kąt math o wierzchołku math  przedłużmy jedno z jego ramion do prostej i wykreślmy okrąg o środku math  i promieniu równym odległości math punktów zaznaczonych na linijce. Następnie przyłóżmy linijkę tak, by przeszła przez punkt math  przecięcia okręgu z drugim ramieniem kąta, a z dwóch zaznaczonych na linijce punktów punkt math  wypadł na przedłużeniu pierwszego ramienia, zaś punkt math był różnym od math  punktem okręgu.

obrazek

Prosta przechodząca przez punkty math  tworzy z przedłużeniem pierwszego ramienia kąt math Wykażemy, że math Trójkąt math  jest równoramienny, bo math  skąd wynika, że math  a więc math  Trójkąt math  również jest równoramienny, bo math  stąd math  Wobec tego math  Trzy kąty o wierzchołku math  dają w sumie kąt półpełny, a zatem

display-math

skąd wynika, że math