Przeskocz do treści

Delta mi!

Kącik początkującego olimpijczyka

Symetria w algebrze

Bartłomiej Bzdęga

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: luty 2019
  • Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2019
  • Wersja do druku [application/pdf]: (378 KB)

O symetriach w równaniach i nierównościach oraz o tym, co z tego wynika.

Niech |A Rozważmy funkcję σ A określoną następująco:

σ (a) = d, σ(b) = c, σ(c) = e, σ(d) = a, σ (e) = b.

Zwróćmy uwagę, że wśród wartości funkcji | σ każdy element zbioru |A występuje dokładnie raz. Odwzorowania o tej własności będziemy nazywać permutacjami zmiennych. Działają one w naturalny sposób na wyrażeniach algebraicznych, na przykład opisana wyżej σ robi to tak:

a2b+ b2c+ c2d + d2e + e2a z d2c + c2e + e2a+ a2b + b2d.

Wyrażenia algebraiczne otrzymane z danego poprzez permutacje zmiennych będziemy nazywać jego symetrycznymi wersjami. Jeśli wszystkie symetryczne wersje są równe, to wyrażenie nazywamy symetrycznym. Dla jasności, wyrażenie ab + bc +ca jest symetryczne, a wyrażenie |ab+ bc + cd + da nie jest. Pojęcie symetryczności można intuicyjnie rozszerzyć: równanie jest symetryczne, jeśli każda jego symetryczna wersja jest mu równoważna, podobnie nierówność, układ równań itp.

Przez zapis | τ = (x,y) rozumiemy, że | τ(x) = y,τ (y) = x oraz | τ jest identycznością na wszystkich pozostałych zmiennych. Taką permutację nazywamy transpozycją. Aby sprawdzić symetryczność, można ograniczyć się do transpozycji jednej zmiennej ze wszystkimi pozostałymi, czyli przykładowo dla wyrażenia | ab + bc+ cd + da byłyby to | (a,b),(a,c) i | (a,d).

Jeśli z symetrycznego równania lub układu równań wywnioskujemy jakąkolwiek własność jego niewiadomych, to spełnione są także własności do niej symetryczne, które można udowodnić w pełni analogicznie. Takie rozumowanie stosujemy w zadaniach 1, 3, 5 i 9.

Wraz z każdym rozwiązaniem symetryczne równanie lub układ ma rozwiązania powstałe przez jego permutacje. Pojawia się to w zadaniach 2, 3 i 7.

Wobec powyższego w zadaniach z algebraiczną symetrią możemy na początku rozwiązania narzucić pewien porządek wśród niewiadomych, gdyż rozwiązania nieuporządkowane dostaniemy poprzez permutacje uporządkowanych. Zabieg ten można prześledzić w zadaniach 4, 6, 7, 8 i 10.