Przeskocz do treści

Delta mi!

Analiza niestandardowa

Leif Arkeyd

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: lipiec 2004
  • Publikacja elektroniczna: 20-12-2010

W matematyce, z jaką spotykamy się w szkole i na uniwersytecie, linię prostą identyfikuje się ze zbiorem punktów, w którym współrzędnymi są liczby rzeczywiste. Istnieje jednakże argument przeciw takiemu konkretnemu utożsamieniu, który opiera się na tym, iż nieskończenie wiele własności linii prostej nie może być ani dowiedzionych, ani obalonych za pomocą aksjomatów używanych w teorii mnogości (tzw. aksjomatów Zermelo–Fraenkla).

Inny sposób spojrzenia na prostą reprezentował Gottfried Leibniz (1646–1716), który traktował ją jako nośnik różnych zbiorów punktów, nie tylko zbioru samych liczb rzeczywistych, ale i bardziej gęstych zbiorów zawierających idealne elementy nieskończenie małe, które miały być większe od zera, ale mniejsze od jakiejkolwiek liczby rzeczywistej. Ponadto tzw. zasada Leibniza zezwalała na to, by z elementami nieskończenie małymi robić wszystko to, co można robić ze zwykłymi liczbami rzeczywistymi. A zatem pomnożenie przez math daje elementy ujemne, dodawanie liczb rzeczywistych i nieskończenie małych sprawia, że nowe liczby zagęszczają „przestrzeń” pomiędzy liczbami rzeczywistymi. Wreszcie dzielenie liczby math przez dodatnie elementy nieskończenie małe daje coś większego od jakiejkolwiek liczby rzeczywistej – liczby nieskończone.

Podejście Leibniza przyczyniło się w dużej mierze do rozkwitu analizy w wieku XVIII i znalazło swe odbicie w pracach najwybitniejszego reprezentanta ówczesnej matematyki Leonarda Eulera (1707–1783). Jednakże, jak zauważy każdy współczesny czytelnik dzieł Eulera, nie zawsze możemy użyć zasady Leibniza. W istocie wszelkie niekonsekwencje i sprzeczności w niej ukryte krytykowane były od początku, z największym może rozgłosem przez biskupa George’a Berkeleya (1685–1753), który wyśmiewał nieskończenie małe jako „duchy wielkości, które odeszły”.

W wieku XIX metoda nieskończenie małych była stopniowo zastępowana – odtąd dominującą – metodą „epsilona i delty”. Do końca wieku XIX aksjomatyczna teoria mnogości została silnie rozwinięta i – nieco paradoksalnie – wzmocniła opór przeciw używaniu nieskończenie małych u wielu generacji matematyków wierzących w stwierdzenie Georga Cantora (1845–1918), że jest możliwe dowiedzenie nieistnienia nieskończenie małych w ramach teorii mnogości. Dopiero od Thoralfa Skolema (1887–1963) i jego (niearchimedesowego) modelu arytmetyki z nieskończonymi liczbami (1927) rozpoczyna się powolny renesans nieskończenie małych.

Polski matematyk Jerzy Łoś (1920–1998) zrobił w tym kierunku ważny krok w 1955 r. W jego konstrukcji liczby hiperrzeczywiste są domkniętym rozszerzeniem (zawierającym nieskończenie małe) uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych. Łoś podaje też nowoczesną i ścisłą wersję zasady Leibniza zwaną zasadą przejścia, która stwierdza dokładnie, które stwierdzenia przenoszą się z liczb rzeczywistych na elementy nieskończenie małe. Ostateczny krok należy do analizy niestandardowej i jej twórcy Abrahama Robinsona (1918–1974), który wykazał, że nowa wersja zasady Leibniza umożliwia rozwinięcie całej analizy opartej na liczbach hiperrzeczywistych.

Użyteczność analizy niestandardowej oparta jest na dwóch własnościach: wspomnianej już zasadzie przejścia oraz własności zwanej nasyceniem, która wyraża fakt, że system liczb hiperrzeczywistych jest bardzo bogaty. Pierwszym zastosowaniem analizy niestandardowej było wypełnienie luk w rozumowaniu, jakie zawierał XVIII-wieczny rachunek nieskończenie małych. Ponadto dostarczyła ona nowego modelu systemu liczbowego z liczbami rzeczywistymi jako częścią liczb hiperrzeczywistych. W istocie, analiza niestandardowa idzie znacznie dalej, dostarczając modeli dla matematyki klasycznej powstałej na gruncie liczb rzeczywistych (odpowiednio hiperrzeczywistych) z możliwością przeprowadzania wszystkich klasycznych rozumowań w każdej ze struktur. Ponadto, obiekty struktury rzeczywistej mogą być interpretowane w ramach struktury hiperrzeczywistej w nowy i owocny sposób. Zasada przejścia daje tutaj ostre kryterium wyróżniające zbiory, do których odnosi się zasada Leibniza. Na przykład zbiór liczb naturalnych mniejszych od danej liczby całkowitej jest dopuszczalny, ale do zbioru wszystkich skończonych liczb naturalnych zasady Leibniza zastosować się nie da, gdyż biorąc kres górny tego zbioru (co zawsze da się zrobić dla ograniczonych zbiorów liczb rzeczywistych), uzyskalibyśmy w wyniku najmniejszą nieskończoną liczbę całkowitą, a więc coś, czego nie ma.

Główne znaczenie analizy niestandardowej to jej rola jako silnego narzędzia dla obecnej i przyszłej matematyki. W zastosowaniach matematyki w zjawiskach naturalnych i ekonomicznych, prosta hiperrzeczywista i analiza niestandardowa dostarczają znacznie więcej modeli niż klasyczna struktura rzeczywista. Fizycy często zastępują skończony zbiór atomów bądź cząstek przez zbiór nieskończony. Analiza niestandardowa idzie krok dalej i może zastąpić skończony zbiór zbiorem składającym się z ustalonej nieskończonej liczby całkowitej. Zasady skończonej kombinatoryki nadal mają tu zastosowanie i na przykład prawdopodobieństwa zdarzeń interesujących fizyków są łatwe do obliczenia.

Autor tego artykułu interesuje się badaniem rozrzedzonych gazów (dziedziną fizyki matematycznej o skomplikowanych równaniach), w których siły, np. grawitacyjne, pomiędzy cząsteczkami gazu dochodzą do nieskończoności, a czas, w jakim wzbudzony ruch stabilizuje się, staje się nieskończony. Moc analizy niestandardowej w odniesieniu do wielkości nieskończonych pozwalała mi niejednokrotnie znajdować rozwiązania równań gazu, a także badać jego graniczne zachowanie, gdy czas dążył do nieskończoności. Przywołując idee związane z zasadą przejścia, moje rezultaty otrzymywały znaczenie i interpretację w ramach tradycyjnego podejścia, choć często okazywało się niezwykle trudne otrzymanie jakichkolwiek wstępnych wyników przy użyciu metod klasycznych.

Słynny matematyk Kurt Gödel postrzegał analizę niestandardową jako matematykę XXI wieku. Mamy już rok 2004, ale w społeczności matematyków wciąż nie jest ona w powszechnym użyciu. Dzisiejsi matematycy są bowiem zazwyczaj wyspecjalizowani i niewielu czuje się równie dobrze zarówno w zakresie logiki matematycznej, jak i w obszarze zastosowań. Jednakże analiza niestandardowa ze swą ogromną mocą niewątpliwie zasługuje na to, by znaleźć się wśród podstawowych metod stosowanych przez matematyków nadchodzących pokoleń.

Tłumaczył Witold Sadowski