Przeskocz do treści

Delta mi!

Lew i człowiek

Jarosław Górnicki

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: luty 2013
  • Publikacja elektroniczna: 31-01-2013
  • Autor: Jarosław Górnicki
    Afiliacja: Katedra Matematyki, Politechnika Rzeszowska
  • Wersja do druku [application/pdf]: (156 KB)

Około 1930 roku Richard Rado (1906-1989) postawił następujący problem: Lew math i człowiek math – traktowani jako punkty – poruszają się w domkniętym kole jednostkowym z jednakowymi maksymalnymi prędkościami. Czy (głodny) lew zawsze złapie człowieka?

Przez ponad dwadzieścia lat wierzono, że w tej „grze” lew jest zawsze zwycięzcą. Uzasadniała to następująca strategia:

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

obrazek

Rys. 4

Rys. 4

Strategia lwa. Lew, przechodząc do środka koła, zmusza człowieka do zajęcia pozycji na brzegu koła i ucieczki z maksymalną prędkością wzdłuż brzegu koła (każde odejście człowieka od brzegu to zbliżenie się do lwa). Załóżmy, że lew znajduje się początkowo w punkcie math a człowiek w punkcie math  Sprytny lew przemieszcza się z maksymalną prędkością, stale pozostając na promieniu math  gdzie math  jest położeniem człowieka w chwili math Oznacza to, że lew biegnie po łuku mniejszego okręgu math (o promieniu math rysunek 1). Ponieważ łuki math i  math  są równej długości (lew i człowiek biegną z jednakowymi maksymalnymi prędkościami), więc lew spotka człowieka w punkcie math Nagła zmiana kierunku ucieczki człowieka, np. w punkcie math  nie poprawia sytuacji człowieka! Lew, odbijając symetrycznie mały okrąg math  wzdłuż prostej math  będzie biegł po łuku math okręgu math (rysunek 2). Zatem, bez względu na

tor ucieczki człowieka po brzegu koła, zostanie on złapany i to w czasie nie większym niż czas potrzebny na to, by lew przebiegł połowę obwodu mniejszego okręgu.

Uwaga. Przypadek ten pokazuje, że często spotykana sugestia „najlepszą metodą pościgu jest pościg w kierunku uciekającego” w wielu sytuacjach nie ma żadnego racjonalnego uzasadnienia – gdyby w rozpatrywanej „grze” lew biegł w kierunku uciekającego człowieka – wzdłuż tzw. krzywej pościgu – to pozostałby głodny (rysunek 3).

Dopiero w 1952 r. – ponad dwadzieścia lat po postawieniu problemu – Abram S. Besicovitch (1891-1970) zauważył, że nieuzasadnione jest zakładanie, iż najlepszą strategią dla człowieka jest „być jak najdalej od lwa i poruszać się wzdłuż brzegu koła”, oraz zaproponował błyskotliwy sposób skutecznej ucieczki przed lwem. Opisał to J.E. Littlewood w A Mathematician’s Miscellany, Methuen and Co., Ltd., London 1953, s. 135-136.

Strategia człowieka (Besicovitch). Załóżmy, że lew znajduje się w punkcie math a człowiek w punkcie math Kolejne pozycje zajmowane przez lwa i człowieka – zawsze poruszających się z jednakowymi maksymalnymi prędkościami – będziemy oznaczać literami math odpowiednio. Człowiek przemieszcza się wzdłuż łamanej o wierzchołkach math  utworzonej z odcinków o długościach

display-math

gdzie każdy odcinek math  jest prostopadły do promienia math(rysunek 4).

Wówczas:

Po pierwsze, całkowita długość łamanej math  jest nieskończona, bo

display-math

(gdyby było math to wobec

display-math

mielibyśmy sprzeczność).

Po drugie, lew nie może złapać człowieka.

Istotnie. Niech człowiek przemieszcza się po odcinku, a lew utrzymuje się na promieniu math  jak zostało to ustalone w Strategii lwa. Ponieważ odcinek math  jest prostopadły do promienia math  więc lew nie może złapać człowieka, gdy człowiek przebiega odcinek math Podobnie, ponieważ odcinek math  jest prostopadły do promienia math , więc lew nie może złapać człowieka, gdy człowiek przebiega odcinek math  i tak we wszystkich pozostałych odcinkach nieskończenie długiej łamanej.

Uwaga. Łamana math  nie musi tworzyć „spirali”, biegnąc np. stale zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ale w każdym z wierzchołków może zmienić kierunek na przeciwny. Gdy zaś lew porusza się według innych zasad, to należy spojrzeć, gdzie lew znajduje się w  math-tym kroku – jeśli math znajduje się we wnętrzu jednej z półpłaszczyzn wyznaczonych przez prostą math  to człowiek powinien przemieszczać się (wzdłuż łamanej) w kierunku półpłaszczyzny bez lwa.

Co więcej, łamana math  zawiera się we wnętrzu koła jednostkowego.

Z twierdzenia Pitagorasa bowiem mamy (rysunek 4):

pict

więc

display-math

a stąd dla math zachodzi

display-math(1)

obrazek

Rys. 5

Rys. 5

Aby oszacować (od góry) wartość wyrażenia math rozważmy funkcję math (rysunek 5). Wówczas

display-math

Ponieważ

pict

więc

display-math(2)

Stosując oszacowanie math w wyrażeniu math otrzymujemy

display-math

co kończy uzasadnienie poprawności strategii Besicovitcha.

Istnieje wiele wariantów problemu Rado, na przykład:

Szpaki i mucha.math-wymiarowej kuli jednostkowej znajdują się szpaki i jedna mucha. Wszyscy poruszają się z jednakową maksymalną prędkością. Jaka minimalna liczba szpaków gwarantuje pochwycenie muchy? (Odpowiedź: math szpaków wystarczy, a  math nie.)

Niektóre z tego typu problemów wciąż czekają na swoich pogromców. Jeden z nich ma wyjątkowo proste sformułowanie.

Lwy na polu golfowym. Czy dwa lwy złapią człowieka na ograniczonym polu golfowym ze skończenie wieloma jeziorkami? (Zakładamy, że wszyscy uczestnicy „gry” poruszają się z jednakowymi maksymalnymi prędkościami, nie mogą wchodzić do wody, a brzegi jeziorek są krzywymi gładkimi.)