Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Proste zadanie o wielomianach

Weźmy wielomian | n p(x) = a(x + b) i obliczmy wszystkie jego niezerowe pochodne:

pict

Widzimy, że p(x) ma wspólny pierwiastek z każdą ze swoich pochodnych |p′ (x), p”(x),...,p n−1 (x). Czy są inne wielomiany o tej własności?

Zadanie 1. Niech |p(x) = anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0, gdzie a0,...,an ∈R oraz | an≠ 0. Przypuśćmy, że dla każdego | k = 1,...,n − 1 wielomiany |p(x) i  k p (x) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty. Udowodnij, że |p(x) = a(x +b)n.

Wielomiany p(x) i p′(x) mają wspólny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy p(x) ma przynajmniej jeden pierwiastek wielokrotny. Tym samym rozwiązaliśmy zadanie dla | n = 2, bo wielomian stopnia | 2, mający pierwiastek wielokrotny, jest postaci  2 a(x + b) . Dla |n = 3 musimy jeszcze rozważyć wielomiany postaci p(x) = a(x + b)2(x +c), gdzie |b ≠c, jednak taki wielomian nie może mieć wspólnego pierwiastka ze swoją drugą pochodną | p ”(x), o czym przekonuje nas rzut oka na rysunek. Zatem także dla n = 3 zadanie jest rozwiązane. Podobny argument - prosta analiza wzajemnego położenia pierwiastków wielomianu i jego pochodnych na podstawie twierdzenia Rolle'a - działa jeszcze dla n = 4.

Spróbujmy inaczej. Dla dowolnych dwóch wielomianów p(x) i |q(x) zdanie " |p(x) i q(x) mają wspólny czynnik" można zapisać jako równanie algebraiczne zawierające współczynniki tych wielomianów. Czytelnikom zainteresowanym szczegółami polecamy zapoznanie się z pojęciem rugownika (ang. resultant) dwóch wielomianów. Wobec tego warunek z treści zadania prowadzi do układu n − 1 równań algebraicznych w zmiennych an,...,a0. Na przykład dla | n = 2 dostajemy znaną wszystkim "deltę":

 2 a1 − 4a2a0 = 0,

a dla | n = 3 mamy warunki:

pict

i tak dalej. Pozostaje wykazać, że jedyne rozwiązania tak otrzymanego układu odpowiadają współczynnikom wielomianów postaci |a(x +b)n. Jak dotychczas, możliwości obliczeniowe znanych algorytmów rozwiązywania układów równań algebraicznych kończą się na n = 12, i w tym zakresie nasze zadanie można uznać za rozwiązane (zob. [1]).

Jak ważne jest założenie, że p(x) ma wspólny pierwiastek ze wszystkimi swoimi pochodnymi do rzędu | n − 1 włącznie? Spójrzmy na przykład:

pict

Wielomian |p(x) ma wspólny pierwiastek z każdą wymienioną pochodną z wyjątkiem pierwszej. Okazuje się, co więcej, że dla każdej takiej pary k,n, że 1⩽ k ⩽ n− 1, można skonstruować wielomian stopnia n, mający wspólny pierwiastek z każdą ze swoich pochodnych z wyjątkiem |k-tej, i który nie jest postaci a(x + b)n. Czytelnik może się o tym przekonać, eksperymentując z jednym z wielu programów (np. [2] lub [4]) pozwalających wizualizować wzajemne położenie pierwiastków wielomianu i pierwiastków jego pochodnych. Ambitniejszy Czytelnik, wykorzystując twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, może spróbować samodzielnie udowodnić nawet silniejsze twierdzenie: dla każdego wyboru n − 2 par liczb naturalnych (ki,mi), spełniających |1⩽ ki⩽ n −1 oraz 1⩽ mi dla i = 1,...,n −2, istnieje taki wielomian  f stopnia |n, że |m -ty co do wielkości pierwiastek |ki -tej pochodnej  f jest również pierwiastkiem | f oraz  f nie jest postaci a(x + b)n.

Czytelnik już na pewno podejrzewa, że nasze zadanie jest trudniejsze niż typowe zadanie olimpijskie, nawet jeżeli na takie wygląda. Faktycznie, jest ono znane jako hipoteza Casas-Alvero od nazwiska matematyka, który postawił ją na początku obecnego wieku w związku ze swoją pracą nad krzywymi algebraicznymi. Dokładniej rzecz biorąc, hipoteza Casas-Alvero mówi o wielomianach o współczynnikach zespolonych, mających wspólne pierwiastki zespolone ze swoimi pochodnymi. Nasze sformułowanie, potencjalnie łatwiejsze, jest jednak także problemem otwartym. Przez ponad dekadę nastąpił tylko nieznaczny postęp w pracach nad hipotezą, lecz Czytelnik nie powinien się tym zrażać - najprawdopodobniej niewielu matematyków nią się interesuje. Używając silnych narzędzi algebraicznych, udowodniono, na przykład, [3], że hipoteza jest prawdziwa dla wielomianów stopnia  k |n = p lub |n = 2pk, gdzie p jest liczbą pierwszą i w kilku innych szczególnych przypadkach. Po bieżące wyniki odsyłamy do publikacji dostępnych w Internecie.


Do czytania
[1]
W. Castryck, R. Laterveer, and M. Ounaïes, Constraints on counterexamples to the Casas-Alvero conjecture and a verification in degree 12, Math. Comp. 83 (2014), no. 290, 3017-3037.
[2]
J. Draisma, Casas-Alvero conjecture Java applet, http://www.win.tue.nl/jdraisma/index.php?location=recreational.
[3]
H.-Ch. Graf von Bothmer, O. Labs, J. Schicho, and Ch. van de Woestijne, The Casas-Alvero conjecture for infinitely many degrees, J. Algebra 316 (2007), no. 1, 224-230.
[4]
B. Torrence, Wolfram Demonstration Project. Lucas-Gauss Theorem, http://demonstrations.wolfram.com/LucasGaussTheorem/.