Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Jak się mierzy objętość nitką?

Czy przyszło Wam kiedyś do głowy, drodzy Czytelnicy, mierzyć nitką objętość? Albo pole?

Nie chodzi nam tu o czyjeś mgliste domysły w rodzaju Ta paczka musi być olbrzymia, skoro Ciocia Hela zmarnowała trzy kłębki sznurka, żeby ją obwiązać. Nie zadowala nas również odpowiedź Oczywiście – mogę wymierzyć nitką mój pokój; jest to prostokąt o bokach mathmath, więc jego pole jest równe  math Chodzi nam o swoistą czarną skrzynkę, która pozwoliłaby określać objętość wszelkich rozsądnych przedmiotów poprzez odczytywanie długości pewnych odcinków.

Oto zarys pomysłu: spróbujmy przez chwilę pomarzyć i wyobraźmy sobie idealną, doskonale elastyczną i nieskończenie cienką nitkę, na której naniesiono podziałkę do mierzenia długości. Wyobraźmy sobie następnie, że owa nitka zostaje bardzo gęsto upakowana we wnętrzu sześcianu – jakiś Dzielny Krawczyk, skądinąd znacznie dzielniejszy niż bohater znanej baśni braci Grimm, rozciąga ją do woli (wraz z podziałką!) i, wywijając igłą, układa przemyślnie w coraz dziwniejsze esy-floresy, w taki sposób, że koniec końców powykręcana nitka przechodzi przez każdą drobinę wnętrza sześcianu, przez każdy milimetr i nanometr sześcienny, o którym Czytelnik w ogóle zdoła pomyśleć. Objętość mierzymy w następujący sposób: jeśli pewna część sześcianu jest wypełniona, powiedzmy, czerwonym barwnikiem, to trzeba odczytać z podziałki, jaka była łączna długość (uwaga: wyjściowa długość, przed rozciąganiem!) zabarwionych na czerwono kawałków nitki – i ta łączna długość jest równa objętości czerwonego barwnika. W ogóle nie jest ważne, gdzie się barwnik znajduje, ile go jest i jaki kształt ma wypełniona przezeń część sześcianu. Brzmi to zaskakująco, niemal magicznie, a mimo to jest możliwe, w tym samym abstrakcyjnym i całkowicie niefizycznym sensie, w jakim możliwych jest tak wiele cudownych rzeczy w matematyce.

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Oto nieco dokładniejszy, rysunkowy opis sposobu, w jaki mierzy się objętość dowolnych podzbiorów sześcianu za pomocą nitki.

Na rysunku 1 przedstawiona jest elastyczna nitka z podziałką. Nitka to po prostu odcinek długości 1.

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Rozciągamy nitkę (rys. 2); podziałka rozciąga się wtedy nierównomiernie. W istocie jeden z końców nitki rozciągamy tak bardzo, że nitka staje się nieskończenie długa.

Rozciągniętą nitkę w odpowiednio przemyślany sposób gęsto upychamy w sześcianie (rys. 3). Teraz wyobraźmy sobie, że chcemy zmierzyć objętość pewnej – skądinąd całkowicie dowolnej i być może bardzo nieregularnej części sześcianu.

obrazek

Rys. 4

Rys. 4

Nie ruszając nici wypełniamy tę część, której objętość chcemy zmierzyć, barwnikiem (rys. 4). Fragmenty nitki znajdujące się w obszarach wypełnionych barwnikiem zabarwią się.

Następnie wyciągamy z sześcianu pobrudzoną barwnikiem nić i obkurczamy do pierwotnego wymiaru. Zabarwione części i rozciągnięta podziałka też się obkurczą. Teraz, już po obkurczeniu, mierzymy łączną długość zabarwionej części nici. Wynik jest równy objętości obszaru wypełnionego barwnikiem – a ułożenie nici było tak przemyślne, że zupełnie nie ma znaczenia, jaki kształt miał ów obszar!

Zanim Czytelnicy zaczną twierdzić, że zupełnie postradaliśmy zmysły, porzućmy przenośnie i potoczne opisy, by sformułować czysto matematyczne pytanie, co pozwoli uniknąć nieporozumień i błędnych interpretacji. Pytamy mianowicie, czy istnieje ciągłe i różnowartościowe odwzorowanie math, gdzie  math oznacza wnętrze sześcianu o krawędzi 1 w przestrzeni trójwymiarowej, o następującej własności: dla dowolnego otwartego podzbioru math długość math przeciwobrazu mathjest równa objętości  math Dwa akapity wyżej zbiór  math był opisany jako część sześcianu wypełniona czerwonym barwnikiem. Odwzorowanie  math to nasza idealna nić; wymóg, by math było różnowartościowe, jest naturalny: wszak prawdziwa nitka nie ma samoprzecięć. Wreszcie, „wyjściowa długość zabarwionych kawałków nitki” to właśnie liczba math

Odpowiedź na tak postawione pytanie jest, jak się okazuje, twierdząca.

Twierdzenie (o nitce). Istnieje ciągłe i różnowartościowe przekształcenie

display-math

takie że liczba math jest równa objętości zbioru math dla każdego otwartego math

Wymiar 3 można zastąpić dowolnym innym wymiarem math; teza twierdzenia pozostanie prawdziwa (trzeba tylko oczywiście zastąpić zwykłą objętość objętością math-wymiarową).

Twierdzenie o nitce jest dość prostym i bezpośrednim wnioskiem ze starego, pięknego twierdzenia, które w 1941 roku udowodnili John von Neumann, John Oxtoby i Stanisław Ulam. Dla Czytelników, którzy mają za sobą podstawowy wykład teorii miary i całki Lebesgue’a, przytaczamy niżej drobnym drukiem sformułowanie tego wyniku. Pozostali Czytelnicy muszą, niestety, zadowolić się następującą niezbyt precyzyjną interpretacją fizyczną:

jeśli sześcian jednostkowy math jest wypełniony plastyczną substancją o całkowitej masie math w taki sposób, że masa substancji znajdującej się w dowolnym otwartym podzbiorze sześcianu jest dodatnia, a masa dowolnego pojedynczego punktu jest równa zeru, to można ową substancję w sposób ciągły i różnowartościowy zdeformować tak, by po deformacji gęstość substancji była stała i równa math

O początkowej gęstości celowo nie wspominamy: cały dowcip i siła twierdzenia von Neumanna, Oxtoby’ego i Ulama polega na tym, że substancja może być rozłożona w sześcianie w tak dziwaczny i zawiły sposób, że gęstości rozkładu masy w ogóle nie można rozsądnie określić. I właśnie dlatego zachodzi twierdzenie o nitce.

Twierdzenie ((von Neumann, Oxtoby, Ulam)). Niech math będzie miarą borelowską na  math-wymiarowej kostce jednostkowej math , taką że math , math dla wszystkich punktów math, math i wreszcie math dla wszystkich zbiorów otwartych math. Istnieje wówczas homeomorfizm math taki że math-wymiarowa miara Lebesgue’a math dla każdego zbioru borelowskiego math . Ponadto, math

My zadowolimy się stwierdzeniem, że istnienie „nitki do pomiaru objętości” jest jeszcze jednym, jakże dobitnym, świadectwem wielkiej subtelności najbardziej podstawowych pojęć współczesnej analizy matematycznej: liczby rzeczywistej, ciągłości, miary. Pojęć, bez których nie do pomyślenia jest nie tylko owa nitka, ale i daleko praktyczniejsze i poważniejsze sprawy: teoria sprężystości, mechanika ośrodków ciągłych, przetwarzanie oraz kompresja obrazów i inne, bardzo różnorodne, zastosowania analizy matematycznej.

Stanisław Ulam, 1909–1984

Jeden z młodszych przedstawicieli przedwojennej Polskiej Szkoły Matematycznej; doktorat uzyskał w 1933 roku we Lwowie, pod opieką Stefana Banacha.

Z Polski wyjechał na stałe w sierpniu 1939 roku; w 1943 roku przyjął obywatelstwo amerykańskie. W USA wykładał m.in. na uniwersytetach Harvarda, Wisconsin i Południowej Kalifornii. Najpowszechniej jest jednak znana jego praca w Laboratorium Narodowym w Los Alamos, gdzie wspólnie z fizykiem Edwardem Tellerem rozwiązał kluczowe kwestie, umożliwiające budowę bomby wodorowej. Ulam jest także autorem metody Monte Carlo, szeroko wykorzystywanej w analizie numerycznej.

Wspólną pracę z Oxtobym uważał za jedno ze swych najbardziej wartościowych osiągnięć.

Kto chciałby o Ulamie wiedzieć więcej, powinien przeczytać jego Przygody matematyka, wydane po polsku w 1996 roku.