Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co to jest?

Pole i objętość

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: sierpień 2008
  • Publikacja elektroniczna: 02-02-2011
  • Wersja do druku [application/pdf]: (269 KB)

W numerze poświęconym mierze (8/2008) nie sposób pominąć tych pierwszych, czyli zwykłych miar geometrycznych (zważmy, że geometria ma miarę w swojej nazwie).Wydaje się, że wiemy o nich wszystko, bo przecież stykaliśmy się z nimi niemal od zerówki. Okazuje się jednak, że i na ich temat można postawić pytania o nieoczywistych odpowiedziach.

Rozważymy tu dwa takie pytania. Pierwsze z nich to:

Czy polem prostokąta musi być iloczyn długości jego boków?

Pisząc szerzej: czy można byłoby, bez rezygnacji z naturalnych własności miary, tak zdefiniować pole, by przyjmowało ono jakieś inne wartości? W oczywisty sposób to samo pytanie można postawić odnośnie objętości prostopadłościanu. Może od razu spiszmy te naturalne własności miary.

I
Figury przystające mają równe miary.
II
Jeśli dwie figury mają wspólny co najwyżej brzeg, to miara ich sumy jest równa sumie ich miar.
III
Miara kostki jednostkowej (kwadratu, sześcianu) jest równa 1.
IV
Miara każdej figury jest nieujemna.

W szkole poznajemy wzory na miary różnych figur płaskich i przestrzennych. Drugie pytanie to:

Czy do ścisłego obliczania pól wielokątów i objętości wielościanów konieczna jest jakaś wyższa matematyka?

Wyrażając się precyzyjniej: czy odpowiednie wzory można uzyskać elementarnie, to jest bez użycia jakichś pojęć związanych z nieskończonością (ciągu, szeregu, granicy itp.)?

Dla niedoceniających tych pytań dodajmy, że pełne odpowiedzi na nie matematycy uzyskali na początku XX wieku, czyli dopiero sto lat temu. Droga wiodła przez równania funkcyjne.

Znakomity artykuł o równaniach funkcyjnych autorstwa Marka Kuczmy zamieściliśmy w Delcie 1(37)1977; w tym tekście jest wiele zapożyczeń z tego artykułu.

Równanie Cauchy’ego

W badaniu problemów związanych z miarą kluczową rolę odgrywa równanie funkcyjne, zwane równaniem Cauchy’ego. Równanie funkcyjne to problem, w którym poszukujemy nie liczby, ale funkcji spełniającej określone warunki. W przypadku równania Cauchy’ego chodzi o następujący warunek:

display-math(1)

dla dowolnych rzeczywistych mathmath

Oczywiście, każdy bez trudu wskaże rozwiązanie tego równania: są to funkcje postaci math dla dowolnej stałej math Augustyn Cauchy, który odkrył znaczenie tego równania w teorii miary, zauważył, iż nie umie odpowiedzieć na pytanie, czy jest to rozwiązanie jedyne. Odpowiedź na takie pytanie przyszła dopiero w 1903 roku, a do jej sformułowania potrzebne były nieistniejące w czasach Cauchy’ego (pierwsza połowa XIX wieku) pojęcia matematyczne.

Zacznijmy rozwiązywać to równanie. Bez trudu stwierdzamy, że

display-math

Podobnie, indukcyjnie dowodzimy dla dowolnego math że math bo

pict

Dalej math bo

display-math

Wreszcie math bo

display-math

Podsumowując, dla dowolnej liczby wymiernej math (i dowolnej liczby rzeczywistej math) mamy więc

display-math(2)

Oznaczając math mamy

display-math(3)

Okazuje się jednak, że w tym miejscu trop się kończy – nie ma sposobu, by na tej podstawie określić konkretną wartość math dla niewymiernego math

Możemy jednak myśleć tak: oznaczmy math Wówczas na mocy (2) otrzymamy mathco więcej – wobec (1) – dla dowolnych wymiernych mathmath

display-math

Oczywiście, dla math otrzymamy zwykłą funkcję liniową, ale nie musimy czynić takiego założenia – math nie jest liczbą wymierną, więc nie nastąpi kolizja w warunkiem (3). Co więcej, postępowanie to możemy kontynuować, deklarując kolejno wartości funkcji math dla nowych wartości – nowych, to znaczy takich, których nie da się uzyskać przez kombinację liniową liczb, dla których wartości funkcji zadeklarowaliśmy już wcześniej (w powyższym przypadku kolejną liczbą, dla której obierzemy dowolnie wartość funkcji math musi być liczba niedająca się przedstawić w postaci math dla wymiernych mathmath np.  math).

Powstaje pytanie, czy postępowanie to daje się rozszerzyć tak, by określić wartości math dla wszystkich liczb rzeczywistych. Odpowiedź nie jest oczywista, bo przez kolejne przyłączanie coraz nowych liczb nie da się dojechać „do końca” (liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele). Jednak silne środki teorii mnogości (np. pewnik wyboru) pozwalają na taką operację – wykonał ją jako pierwszy Georg Hamel (ciekawych odsyłam do hasła baza Hamela). Nam jednak dalej wystarczą rozwiązania równania (1) uzyskane taką metodą, jak dla liczb postaci math użytą tylko skończoną liczbę razy, czyli określone tylko dla niektórych liczb. Wspomnijmy, iż okazało się, że wszystkie rozwiązania równania Cauchy’ego, poza liniowym, są bardzo paskudnymi funkcjami: nie są ciągłe, ani w żadnym przedziale monotoniczne itd.

Pole prostokąta

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Z podanej na początku własności I miary wynika, że pole prostokąta jest funkcją długości jego boków (bo gdy dwa prostokąty mają równe boki, to są przystające). Oznaczmy tę funkcję przez math gdzie mathmath to długości boków. Ponieważ podział prostokąta odcinkiem równoległym do jego boków (Rys. 1) daje nam dwa prostokąty, więc mamy – na mocy II – równanie funkcyjne

display-math

Ustalmy na pewien czas math i oznaczmy math Mamy zatem

display-math

– funkcja math spełnia równanie Cauchy’ego. Wobec tego możemy skorzystać z uzyskanych wyżej wzorów: mamy dla wymiernego  math

display-math

Powtarzając rozumowanie ze wspomnianego artykułu Marka Kuczmy, rozważmy funkcję math – wykażemy, że jest ona stała i dla każdego math równa 0.

math
math spełnia równanie Cauchy’ego:
pict
math
math jest okresowa z okresem  math: display-math

math
math jest ograniczona z dołu; tu skorzystamy z niewykorzystanej dotąd własności IV – w naszych oznaczeniach głosi ona, że dla math mamy math w szczególności math Na mocy math wystarczy rozpatrzyć wartości przyjmowane przez funkcję w przedziale math:
display-math

math
Dla każdego math jest math. Przypuśćmy, że znaleźliśmy w przedziale math taką liczbę math że math Zatem math lub math W pierwszym przypadku zauważamy, że wobec math i (3) mamy math co pozwala przez dobór odpowiednio dużego math uczynić tę liczbę dowolnie małą, co jest sprzeczne z math W drugim przypadku zauważmy, że wówczas math jest mniejsze od zera, bowiem, wobec math display-math

Powtarzając poprzednie rozumowanie, stwierdzamy, że teraz math może być dowolnie małe. Zatem w każdej sytuacji dochodzimy do sprzeczności, czyli nasze przypuszczenie było błędne – funkcja math jest stale zerem, skąd mamy wniosek, że

display-math

czyli dla dowolnego math mamy math

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Powróćmy do prostokąta. Wiemy teraz, że jego pole to

display-math

Skorzystajmy z tego, że prostokąt można podzielić na dwa prostokąty również odcinkiem równoległym do drugiej pary boków (Rys. 2). Wtedy będzie

display-math

czyli

display-math

Biorąc np.  math otrzymujemy

display-math

– funkcja math spełnia równanie Cauchy’ego! Wobec tego stosuje się do niej przeprowadzone przed chwilą rozumowanie, co daje, dla pewnej stałej math

display-math

Ostatecznie więc wykazaliśmy, że musi być

display-math

Pole wielokąta, objętość wielościanu

W Małej Delcie jest dowód, że dowolny wielokąt można pociąć na części, z których ułoży się prostokąt (a nawet kwadrat) – mówimy, że dowolny wielokąt jest równoważny przez pocięcie z prostokątem. Stąd sposób obliczania pola dowolnego wielokąta jest wyznaczony jednoznacznie. Powstaje pytanie, czy można dowolny wielościan pociąć na skończoną liczbę mniejszych wielościanów, z których ułoży się prostopadłościan. Metody takiej nie przekazali nam Starożytni, ale i potem nie umieliśmy jej znaleźć, aż w 1900 roku David Hilbert umieścił pytanie, czy to w ogóle da się zawsze wykonać, w rzędzie 23 najważniejszych problemów na nadchodzący wiek XX. Odpowiedź przyszła szybko – jeszcze w tym samym 1900 roku Max Dehn udowodnił, że nie jest to możliwe.

Dokładniej, Dehn wskazał, które pary wielościanów nie są równoważne przez pocięcie. Pięćdziesiąt dziewięć lat później Jean Paul Sydler uzupełnił ten dowód, wskazując, że wszystkie inne pary już są równoważne przez pocięcie. Okazuje się, że również w tej sprawie interweniuje równanie Cauchy’ego.

Kluczem do sprawy jest niezmiennik Dehna. Dla dowolnego wielościanu math obliczamy go tak. Numerujemy wszystkie jego krawędzie math (od 1 do math) i tym samym numerem oznaczamy kąty dwuścienne math przy tych ścianach. Bierzemy następnie jakąś funkcję math spełniającą równanie Cauchy’ego i na dodatek spełniającą warunek math (a więc także mathdla dowolnej liczby wymiernej math ) – taką funkcję nazywamy funkcją Dehna. Niezmiennik Dehna dla funkcji math to liczba

display-math

Twierdzenie (Dehna). Jeśli wielościany są równoważne przez pocięcie, to ich wszystkie niezmienniki Dehna są równe (wszystkie, to znaczy dla dowolnej funkcji Dehna).

Na pomysł takiego niezmiennika wpaść jest trudno, natomiast udowodnić twierdzenie Dehna już trudno nie jest.

Wystarczy wykazać, że wartość dowolnie ustalonego niezmiennika Dehna dla wielościanu math jest równa sumie tych samych niezmienników wielościanów, na które go potniemy. W tym celu rozważmy wszystkie krawędzie wszystkich wielościanów uzyskanych z pocięcia. Niektóre z nich (niech taka będzie np. krawędź  math z wielościanów math gdzie kąty dwuścienne przy niej to odpowiednio math) znajdowały się we wnętrzu wielościanu math – jeśli tak, to teraz w sumie niezmienników math nie wystąpi, bo

pict

– przecież ta krawędź była „otoczona” wielościanem math Podobnie nie wystąpi w sumie niezmienników żadna nowa krawędź, która leżała we wnętrzu ścian wielościanu math – tutaj kąty zsumują się do math Tak więc w sumie niezmienników Dehna wielościanów, na jakie pocięliśmy wielościan math wystąpią tylko fragmenty krawędzi wielościanu math przy czym (rozumujemy podobnie jak poprzednio) przy każdym takim fragmencie math (gdzie, powiedzmy, math ) krawędzi math wystąpi po zsumowaniu funkcja całego kąta math Będziemy więc mieli

display-math

Ale przecież niezmiennik Dehna wielościanu math to właśnie suma takich wyrażeń.

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Tak więc, jeśli znajdziemy taki niezmiennik Dehna, który przyjmuje inną wartość dla wielościanu math niż dla wielościanu math będzie to dowód, że nie są one równoważne przez pocięcie. A oto przykład: czworościan math z rysunku 3 (naroże sześcianu) nie jest równoważny przez pocięcie z żadnym prostopadłościanem. Udowodnimy to.

Najpierw zauważmy, że wszystkie niezmienniki Dehna dla prostopadłościanu są równe 0 – istotnie, wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są proste, czyli równe math a dla każdej funkcji Dehna math mamy math Wystarczy więc wskazać taki niezmiennik, który dla mathprzyjmuje wartość niezerową. Niezmienniki math mają postać

display-math

gdzie math to kąt dwuścienny przy dłuższych krawędziach czworościanu. Powstaje wobec tego pytanie, czy istnieje taka funkcja Dehna, która dla math jest różna od zera.

W części poświęconej równaniu Cauchy’ego stwierdziliśmy, że wartość funkcji math możemy obrać dowolnie wtedy i tylko wtedy, gdy math nie jest wymierną wielokrotnością math (bo na razie tylko dla wymiernych wielokrotności math mamy zadane wartości math).

Okazuje się, że spostrzeżenie (które zapewne nie sprawi kłopotu Czytelnikowi), iż math wystarcza, aby to udowodnić. Najpierw zauważmy, że:

Fakt. math , gdzie math jest liczbą całkowitą niepodzielną przez math

Dowód. Dowód jest indukcyjny. Dla math zgadza się: math Dla math mamy

display-math

czyli też dobrze: math Teraz krok indukcyjny: ze znanego wzoru mamy

display-math

a wobec tego

display-math

a więc też dobrze – mianownik się zgadza, a liczba math nie dzieli się przez 3, skoro math się nie dzieli.


Teraz już łatwo dowodzimy, że math nie jest wymierną wielokrotnością math Gdyby bowiem było przeciwnie, to znaczy gdyby dla całkowitych mathmath było

display-math

to mielibyśmy

display-math

co jest niemożliwe, bo math przez 3 się nie dzieli.

obrazek

Rys. 4

Rys. 4

Zatem możemy wybrać sobie funkcję Dehna math przyjmującą dowolnie obraną przez nas wartość dla math np. 1. Otrzymamy wówczas math co wobec twierdzenia Dehna dowodzi, że nie da się pociąć math na takie wielościany, z których da się uskładać prostopadłościan.

Morał z tego taki, że jeśli ktoś nam pokazuje sposób na uzyskanie wzoru na objętość czworościanu math bez jakiegoś przejścia graniczmego, to nas oszukuje (choć, być może, robi to bardzo sprytnie).

Twierdzenie (Sydlera). Jeśli wielościany mają wszystkie niezmienniki Dehna równe, to są równoważne przez pocięcie.

Nie będziemy go dowodzili, ale proponujemy Czytelnikowi wynikające z niego zadania.

1.
Wykazać, że czworościan z rysunku 4 jest równoważny przez pocięcie z prostopadłościanem.
2.
Znaleźć odpowiedni rozkład.
3.
Wykazać, że każdy graniastosłup jest równoważny przez pocięcie z prostopadłościanem (można analitycznie, ale można też sprytnie wykorzystać twierdzenie Bolyaia–Gerwiena z  Małej Delty).