Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Jak wygląda zbiór math-wymiarowy, czyli o wymiarze fraktali

Krzysztof Barański

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: lipiec 2011
  • Publikacja elektroniczna: 01-07-2011
  • Autor: Krzysztof Barański
    Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
  • Wersja do druku [application/pdf]: (266 KB)
obrazek

Pod koniec XIX wieku w matematyce zaczęły pojawiać się niespotykane wcześniej obiekty geometryczne, charakteryzujące się skomplikowanym kształtem i zjawiskiem „samopodobieństwa” (podobieństwa dowolnie małych fragmentów do całości zbioru). Tego rodzaju zbiory nazywamy dziś fraktalami. Aby lepiej opisać geometrię takich obiektów, wykorzystuje się różne odmiany pojęcia wymiaru, zwane czasami wymiarami fraktalnymi.

Co to znaczy, że linia prosta jest jednowymiarowa, płaszczyzna – dwuwymiarowa, a przestrzeń, w której żyjemy – trójwymiarowa? Można na to pytanie odpowiedzieć w ten sposób: na prostej możemy poruszać się w jednym kierunku (właśnie wzdłuż tej prostej), na płaszczyźnie – w dwóch niezależnych kierunkach, a w przestrzeni – w trzech (prawo-lewo, przód-tył, góra-dół). (Pozostaje tylko sprecyzować, co to są niezależne kierunki, co nie jest już takie oczywiste.) Mówiąc nieco inaczej, do opisu punktu na prostej wystarczy jeden parametr rzeczywisty (jedna współrzędna), punkty na płaszczyźnie mają dwie współrzędne itd. Matematycy posługują się pojęciem przestrzeni math-wymiarowej (dla dowolnej liczby naturalnej math), która jest zbiorem punktów opisanych przez math współrzędnych.

Sytuacja jest trudniejsza, gdy chcemy powiedzieć, jaki jest wymiar bardziej skomplikowanych zbiorów. Naturalne jest przyjąć, że okrąg jest obiektem jednowymiarowym, bo może być sparametryzowany jedną współrzędną (kątem), a sfera (powierzchnia kuli) i torus (powierzchnia dętki) mają wymiar math bo parametryzują się dwiema współrzędnymi kątowymi. Są to przykłady tzw. gładkich rozmaitości, których wymiar jest łatwo określić jako liczbę parametrów potrzebnych do ich opisania. Ogólniej, istnieje pojęcie wymiaru topologicznego, który można zdefiniować dla szerokiej klasy zbiorów (patrz artykuł na stronie 7 bieżącego numeru Delty). Taki wymiar jest zawsze liczbą całkowitą.

Pod koniec XIX wieku w matematyce zaczęły pojawiać się niespotykane wcześniej obiekty geometryczne, charakteryzujące się skomplikowanym kształtem i zjawiskiem „samopodobieństwa” (podobieństwa dowolnie małych fragmentów do całości zbioru). Tego rodzaju zbiory nazywamy dziś fraktalami. Aby lepiej opisać geometrię takich obiektów, wykorzystuje się różne odmiany pojęcia wymiaru, zwane czasami wymiarami fraktalnymi. W odróżnieniu od „zwykłego” wymiaru, mogą one przyjmować wartości niecałkowite. Przyjrzymy się teraz na kilku przykładach, jak można takie wymiary zdefiniować i jak je obliczać.

Jednym z pierwszych fraktali, który pojawił się w matematyce, była krzywa Kocha, zwana też płatkiem śniegu (patrz rysunek). Przykład ten został podany przez szwedzkiego matematyka Helge von Kocha w 1904 roku. Jest to samopodobna krzywa zamknięta bez samoprzecięć, która ma nieskończoną długość i nie ma stycznej w żadnym punkcie. Można zauważyć, że chociaż krzywa Kocha jest topologicznie obiektem jednowymiarowym, to zajmuje „więcej miejsca” na płaszczyźnie niż zwyczajna gładka krzywa. Aby opisać liczbowo to zjawisko, można wprowadzić pojęcie wymiaru samopodobieństwa (ang.  similarity dimension). Zauważmy, że jednowymiarowy odcinek ma następującą własność: dla każdej liczby naturalnej math jest sumą math odcinków o długości math razy mniejszej, o rozłącznych wnętrzach (tzn. stykających się tylko końcami). Każdy z tych odcinków jest obrazem dużego odcinka przy podobieństwie o skali math Mamy więc

display-math

gdzie math to skala podobieństwa, a  math  to liczba przeskalowanych kopii dających w sumie cały zbiór. Spójrzmy teraz na dwuwymiarowy kwadrat: jest on sumą math  kwadratów o rozłącznych wnętrzach (stykających się tylko brzegiem), które są obrazami dużego kwadratu przy podobieństwach o skali math Mamy zatem

display-math

a więc wykładnik przy skali math w powyższym wzorze to wymiar obiektu (podobnie w poprzednim wzorze wykładnik przy math równy math jest wymiarem odcinka). Dla trójwymiarowej kostki mamy, analogicznie,

display-math

dla math i  math  (kostka jest sumą math kostek o boku math razy mniejszym, o rozłącznych wnętrzach) i znowu wykładnik przy skali math jest równy wymiarowi zbioru. A jak jest dla krzywej Kocha? Wygodnie jest podzielić ją na trzy części (każda powstała z jednego boku dużego trójkąta) i rozpatrzyć każdą z nich osobno. Zauważmy, że taka część jest sumą czterech swoich kopii (stykających się tylko w pojedynczych punktach) przy odpowiednich podobieństwach o skali math (patrz też strona 15). Wynika to wprost z konstrukcji płatka śniegu. Jeśli więc wymiar takiej części byłby równy math  to powinno zachodzić

display-math

dla math i  math  czyli

display-math

To równanie jest spełnione dla math  (zauważmy, że można tu wziąć logarytm o dowolnej podstawie, co nie ma wpływu na wynik). Tę właśnie liczbę math  nazywamy wymiarem samopodobieństwa krzywej Kocha. Jest to liczba leżąca pomiędzy math i math co odzwierciedla wysoki „stopień skomplikowania” tej krzywej.

Taki wymiar możemy łatwo obliczyć dla różnych samopodobnych zbiorów, które są sumą kilku swoich kopii o rozłącznych „wnętrzach”, przy podobieństwach o danej skali. Jeśli mamy math  takich kopii, a skala jest równa math to ten wymiar jest równy math Na przykład, wymiar samopodobieństwa trójkąta Sierpińskiego jest równy math a dla zbioru Cantora jest on równy math (patrz rysunki).

Możemy jeszcze uogólnić nasz wzór na przypadek, gdy badany obiekt jest sumą math  swoich kopii o rozłącznych „wnętrzach”, uzyskanych przez podobieństwa o różnych skalach, powiedzmy math gdzie math Wymiar samopodobieństwa jest wtedy taką liczbą math dla której zachodzi

display-math

Taka liczba math  zawsze istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie (dlaczego?).

Wadą wymiaru samopodobieństwa jest to, że jest zdefiniowany tylko dla szczególnego rodzaju zbiorów, uzyskanych przez procedury podobne do opisanych powyżej. Dla innych zbiorów potrzebne jest więc ogólniejsze pojęcie wymiaru „fraktalnego”. Zdefiniujemy teraz wymiar pudełkowy (ang. box dimension, box-counting dimension), zwany też wymiarem Minkowskiego lub Minkowskiego–Bouliganda. Oznaczany jest zwykle math lub math

Weźmy pod uwagę dowolny ograniczony zbiór math  na płaszczyźnie. Dla każdej liczby math istnieje taka liczba naturalna math  że możemy pokryć nasz zbiór math  kwadratami o boku math (dlaczego?). Niech math  będzie najmniejszą taką liczbą math  Wtedy wymiar pudełkowy zbioru math  jest równy

display-math

(podobnie jak poprzednio, ta wartość nie zależy od wyboru podstawy logarytmu). Nietrudno wykazać (jak?), że wynik będzie ten sam, jeśli zamiast dowolnych kwadratów o boku math weźmiemy kwadraty tworzące na płaszczyźnie kratę o boku math. Możemy też zastąpić kwadraty kołami o średnicy math

Jeśli zbiór jest podzbiorem prostej, to zamiast kwadratów bierzemy odcinki o długości math a jeśli jesteśmy w przestrzeni trójwymiarowej, to kwadraty zastępujemy kostkami o boku math lub kulami o średnicy math Ogólnie, definicję rozszerza się na ograniczone podzbiory przestrzeni math-wymiarowej.

Może się zdarzyć, że granica w definicji wymiaru pudełkowego nie istnieje. Wtedy trzeba zastąpić zwykłą granicę przez granicę górną lub dolną, uzyskując tzw. górny lub dolny wymiar pudełkowy.

Można łatwo sprawdzić (jak?), że wymiar pudełkowy odcinka jest równy math kwadrat ma wymiar pudełkowy math i tak dalej. A jaki jest wymiar pudełkowy zbioru Cantora math ? Dla math  mamy math  bo math  jest pokryty przez math  odcinków o długości math powstałych po math krokach konstrukcji. Z drugiej strony, końce tych wszystkich odcinków należą do zbioru Cantora, a „dziury” między nimi są długości co najmniej math i łatwo zauważyć, że math  Mamy więc math  więc

display-math

co jest równe wymiarowi samopodobieństwa. Pozostawiamy Czytelnikowi sprawdzenie, że przy obliczaniu granicy w definicji wymiaru pudełkowego wystarczy brać math co daje

display-math

Podobnie wyznaczamy wymiar pudełkowy trójkąta Sierpińskiego i krzywej Kocha. We wszystkich tych przykładach (i podobnych konstrukcjach) wymiar pudełkowy jest równy wymiarowi samopodobieństwa.

Wymiar pudełkowy nie ma jednak najlepszych własności matematycznych. Na przykład, okazuje się, że wymiar pudełkowy domknięcia zbioru math jest taki sam, jak wymiar samego zbioru math  co implikuje w szczególności, że zbiór liczb wymiernych w odcinku math ma wymiar pudełkowy math Przy „porządnej” definicji wymiaru każdy przeliczalny zbiór powinien mieć wymiar zero! Jakie jest więc pojęcie fraktalnego wymiaru, które zadowoli wymagającego matematyka?

Takim wymiarem jest wymiar Hausdorffa, zwany też czasami wymiarem Hausdorffa–Besicovitcha. Jego definicja jest jednak znacznie bardziej skomplikowana niż poprzednie. Omówimy ją teraz.

Niech math  będzie dowolnym podzbiorem math -wymiarowej przestrzeni math Ustalmy math Weźmy pod uwagę dowolne przeliczalne pokrycie zbioru math  to znaczy zbiory math  takie że math  (Zamiast dowolnych zbiorów można wziąć kule w math to znaczy odcinki na prostej dla math koła na płaszczyźnie dla math zwykłe kule w przestrzeni trójwymiarowej dla math itd.) Dla danej liczby math 

display-math

gdzie math oznacza średnicę zbioru, a infimum jest wzięte po wszystkich takich pokryciach math  zbioru math  że math  dla wszystkich math  Bierzemy teraz

display-math

Ta granica zawsze istnieje (być może równa math ), bo math  maleje przy wzroście math Liczbę math  nazywamy math -tą miarą ( zewnętrzną) Hausdorffa zbioru math  Okazuje się, że istnieje taka liczba math że math  dla wszystkich math  i  math dla wszystkich math  Tę liczbę math  nazywamy wymiarem Hausdorffa zbioru math  i oznaczamy math  lub mathDla math   miara Hausdorffa jest równoważna „zwykłej” mierze Lebesgue’a w math

Wymiar Hausdorffa ma dobre właściwości matematyczne. Można sprawdzić, że math  i  math  dla każdego przeliczalnego zbioru math  Poza tym, math  dla każdej gładkiej rozmaitości math -wymiarowej math  Mamy też math  dla dowolnych zbiorów math Wadą wymiaru Hausdorffa jest to, że zazwyczaj jest trudny do obliczenia! Już obliczenie tego wymiaru dla zbioru Cantora nastręcza trudności, a przypadek trójkąta Sierpińskiego czy krzywej Kocha wymaga zastosowania odpowiednich narzędzi z geometrycznej teorii miary, teorii potencjału lub transformaty Fouriera. Pewnym ułatwieniem jest nierówność

display-math

która zachodzi dla wszystkich zbiorów math  (jeśli granica w definicji wymiaru pudełkowego nie istnieje, to bierzemy dolny wymiar pudełkowy). W przypadku zbioru Cantora, krzywej Kocha i trójkąta Sierpińskiego mamy równość wymiarów Hausdorffa i pudełkowego, jednak taka sytuacja nie zawsze zachodzi.

obrazek

Wolfgang Beyer / wikipedia

W 1991 roku Mitsuhiro Shishikura udowodnił, że brzeg zbioru Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy math

Wolfgang Beyer / wikipedia

W 1991 roku Mitsuhiro Shishikura udowodnił, że brzeg zbioru Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy math

Zadanie. Niech math  i  math Udowodnić, że math  math   math

Odnotujmy jeszcze ważne twierdzenie Szpilrajna, mówiące o tym, że wymiar Hausdorffa jest większy lub równy wymiarowi topologicznemu. Z tego powodu fraktale można zdefiniować jako zbiory, dla których ta nierówność jest ostra.

Jest jeszcze kilka innych wymiarów fraktalnych, takich jak wymiar Rényi, wymiar korelacyjny czy wymiar pakujący, ale nie będziemy tu o nich mówili.

Na koniec odpowiemy na pytanie zawarte w tytule: jak może wyglądać zbiór math-wymiarowy? Aby zdefiniować taki zbiór, przeprowadzimy konstrukcję podobną jak dla zbioru Cantora, z tym że w każdym kroku będziemy zmieniać liczbę wyjętych odcinków i skalę zmniejszania. Niech dla każdej liczby naturalnej math zbiór math  składa się z math  rozłącznych odcinków o długości math  każdy, rozłożonych tak, że odległości między środkami kolejnych odcinków są równe math  Definiujemy zbiór „typu Cantora” jako math  Okazuje się, że jeżeli liczby math  rosną dostatecznie szybko wraz ze wzrostem math to wymiar Hausdorffa zbioru math  jest równy math Nie dowodzimy tutaj tego, zauważmy tylko, że

display-math

Wtedy zbiór math  (iloczyn kartezjański zbioru math  i przestrzeni trójwymiarowej), zawarty w przestrzeni czterowymiarowej, ma wymiar Hausdorffa równy math