Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Stereometria Deltoid

    Kroimy kostkę

    Podzielmy kostkę na 27 przystających sześcianów (jak w kostce Rubika), a następnie wyrzućmy 7 z nich: ten ze środka oraz środkowy na każdej ze ścian. W kolejnych krokach konstrukcji powtarzajmy powyższą operację dla każdego z pozostających mniejszych sześcianów.

  2. Geometria

    Anomalie kul i kostek

    Kwadrat i koło mają swoje naturalne odpowiedniki trójwymiarowe (sześcian i kula), czterowymiarowe, pięciowymiarowe i dowolnie wymiarowe. Pisząc "dowolny wymiar", mamy na myśli więcej osi układu, czyli też współrzędnych opisujących obiekt. Wyobraźmy sobie mianowicie przestrzeń trójwymiarową (co nie jest specjalnie trudne). Każdy punkt takiej przestrzeni można opisać za pomocą zestawu trzech współrzędnych |(x;y;z ): Gdy opisujemy położenie punktu na płaszczyźnie, myślimy zwykle o układzie kartezjańskim i parze współrzędnych (x;y ): Opisując punkt na prostej, używamy tylko jednej liczby. Gdy zaś chcemy opisać przestrzeń czterowymiarową, lub ogólniej |n -wymiarową, używamy zestawu n liczb |(x1; :::;xn):

  3. obrazek

    Rys. 1

    Rys. 1

    Planimetria

    O ortocentrach i parabolach, a zwłaszcza o twierdzeniu odwrotnym Steinera

    W Delcie 11/2017 został przedstawiony (bez dowodu) fakt, że dla czterech dowolnych prostych (tak dowolnych, że są parami nierównoległe i żadne trzy nie mają punktu wspólnego) ortocentra wyznaczonych przez nie czterech trójkątów leżą na jednej prostej, a okręgi opisane na tych trójkątach mają punkt wspólny. Ponadto parabola, której kierownicą jest prosta zawierająca ortocentra, a ogniskiem punkt wspólny okręgów opisanych jest styczna do czterech wyjściowych prostych (Rys. 1).

  4. obrazek

    Punkty D, E, F to środki boków, X, X', Y, Y', Z, Z' oznaczają pola.

    Punkty D, E, F to środki boków, X, X', Y, Y', Z, Z' oznaczają pola.

    Planimetria Deltoid

    Środkowe i pola

    Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Środkowe przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości i dzieli on każdą z nich w stosunku |2 1; licząc od wierzchołka trójkąta (rys. obok).

  5. obrazek

    Geometrie nieeuklidesowe

    Geometria Bolyaia–Łobaczewskiego

    Najdłużej badanym problemem matematycznym była kwadratura koła. Zaraz za nią uplasowała się kwestia piątego postulatu Euklidesa. Chodziło o to, czy zdanie "jeśli dwie proste przecięte trzecią tworzą kąty wewnętrzne jednostronne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to proste te po przedłużeniu przetną się i to właśnie z tej strony" spełnia wymagane dla postulatów warunki, czyli czy wyraża rzeczy jasne i oczywiste i czy jest dostatecznie zwięzłe, by być uznane za pierwotną prawdę. Debatę zapoczątkował w V wieku Proklos, odpowiadając dwukrotnie nie i proponując, by wykazać, że usunięcie tego postulatu gmachu geometrii nie naruszy.

  6. Planimetria Deltoid

    Wysokości czworokąta

    Wysokością czworokąta nazwijmy prostą przechodzącą przez środek jego boku i prostopadłą do boku przeciwległego. W niektórych czworokątach wszystkie cztery wysokości przecinają się w jednym punkcie - ortocentrum czworokąta. Przykładowo kwadrat ma ortocentrum, a romb niebędący kwadratem nie ma.

  7. Planimetria Deltoid

    Pasujemy do siebie!

    W wielu zadaniach, w których występują kąty lub ich sumy, przydatne bywa przeniesienie pewnych figur tak, by kąty te znalazły się obok siebie. Szczególnie wygodne jest to wtedy, gdy suma pewnych kątów równa jest np. |90○ lub |360○; a także, gdy niektóre z danych odcinków są równej długości.

  8. Planimetria

    Tak samo, ale zupełnie inaczej

    Geometrzy od dawna marzyli o współrzędnych jednorodnych, czyli takich |n -tkach liczb (dalej dla uproszczenia będzie mowa o parach i trójkach) przyporządkowanych punktom, że gdy wszystkie liczby w n -tce pomnożymy przez tę samą liczbę, to nowa |n -tka będzie współrzędnymi tego samego punktu.

  9. Planimetria

    Przesuwanie w zadaniach olimpijskich

    W tym artykule omówimy pewną bardzo pożyteczną technikę - tzw. przesuwanie. Polega ona na tym, że niektóre obiekty przesuwamy o pewien wektor i udowadniamy, że teza zadania jest niezmiennicza ze względu na wykonanie tej operacji. Ta metoda pozwala na sprowadzenie rozwiązywanego zadania do znacznie prostszego. Bardzo często ten prostszy przypadek ma jakiś rodzaj symetrii, z której łatwo wywnioskować tezę. Zanim przejdziemy do rozwiązywania zadań, odnotujmy dwie proste własności opisanej operacji.

  10. Stereometria

    Wpisywanie w przestrzeni

    W poprzednim numerze przedstawiliśmy cykl wzajemnie wpisanych trójkątów i dwa wzajemnie wpisane pięciokąty. To było na płaszczyźnie. A teraz będzie przykład wzajemnego wpisania w przestrzeni trójwymiarowej.

  11. Planimetria Mała Delta

    Gwiazda potęgowa

    Dawno, dawno temu żył sobie beztrosko król wraz ze swoją piękną córką. Jak to czasem w zbyt szczęśliwych królestwach bywa, pewnego razu czarnoksiężnik przybył na dwór, żeby porwać królewnę i uwięzić ją w swojej upiornej wieży. Zgodnie z zasadami dobrego wychowania mrocznych czarodziei, do których należał, musiał dać mieszkańcom królestwa możliwość ocalenia królewny przed swoim niecnym planem...

  12. Planimetria

    Wpisywanie

    W geometrii dyskretnej przyjęło się mówić, że wielokąt jest wpisany w inny wielokąt, gdy ma wierzchołki na prostych zawierających boki tego drugiego wielokąta. Od czasu Hilberta tego zwrotu używa się i w przypadku "zwyczajnej" geometrii.