Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Słowa, słowa, słowa...

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: czerwiec 2013
  • Publikacja elektroniczna: 28-05-2013
  • Tekst ten dedykuję pamięci Profesora Friedricha Bachmanna, którego poparcia miałem zaszczyt doświadczyć.

Słowa, którymi będziemy się zajmowali, będą napisami złożonymi z liter jednego lub kilku zbiorów (na początek przyjmijmy, że zbiory są dwa – jeden zawiera małe litery łacińskie, a drugi duże) o tej własności, że dwie jednakowe litery umieszczone po kolei będą znikały. Napis, w którym wszystko znikło (czasem i taki jest potrzebny), będzie oznaczany 1.

Przykład. Zbiór jest jeden, a litery są dwie: math i  math Wprowadzamy dodatkowy warunek math Co opisują te słowa?

Algebraik odpowie: to grupa Kleina, czteroelementowa grupa niecykliczna.
Geometra stwierdzi, że to grupa izometrii własnych prostokąta, czyli sposobów położenia banknotu na jego obrysie.

Słowo grupa jest dobrze dobrane do naszych słów. Faktycznie, dopisywanie jednego do drugiego można traktować jak działanie (będziemy o nim mówić: mnożenie). Elementem neutralnym jest wtedy 1, a elementem przeciwnym do math jest math Łączność dopisywania nie wymaga uzasadnień. Zatem nasze słowa przy dowolnym wyborze zbiorów liter tworzą grupę.

W tej terminologii wszystkie litery są inwolucjami (czyli są odwrotne do siebie) i dlatego takie grupy nazywają się inwolutywne.

Grupy takie mogą się różnić nie tylko zbiorami liter, ale też dodatkowymi warunkami pozwalającymi (jak w powyższym przykładzie) skracać słowa.

Fanaberia Leibniza, czyli motywacja historyczna

Gottfried Friedrich Wilhelm Leibniz (1646-1716) ogromną wagę przywiązywał do języka, w jakim formułuje się prawa każdej z dyscyplin nauki – twierdził, że każda dyscyplina powinna mieć własny. W szczególności twierdził, że geometria analityczna to odrażająca hybryda: do geometrii używa się języka algebry. W geometrii można liczyć, ale na obiektach geometrycznych – twierdził.

Nikt nie brał tego postulatu poważnie, aż pod koniec XIX wieku Juhasson Hjelmslev (1873-1950) stwierdził, że można rachować na podprzestrzeniach, utożsamiając je z symetriami względem tych podprzestrzeni. Przyjrzyjmy się temu na płaszczyźnie.

Co dla różnych prostych math i  math oznacza napis math Chwila namysłu pozwoli nam zauważyć, że złożenie dwóch symetrii osiowych to przesunięcie (ale wtedy obie strony oznaczałyby przesunięcia w przeciwnych kierunkach) lub obrót. Zatem rozważana równość to stwierdzenie, że dwa obroty o ten sam kąt, ale o przeciwnym zwrocie, są równe: co to za kąt? Oczywiście, kąt półpełny! Zatem proste muszą tworzyć kąt o połowę mniejszy, czyli są prostopadłe.

Proste spełniające podany warunek mają jeszcze i tę własność, że dla pewnego punktu math (nie ukrywajmy – punktu ich przecięcia) mamy równość math bo przecież obrót o kąt półpełny to symetria względem środka obrotu.

obrazek

Rys. 1 Oba przekształcenia to symetrie z poślizgiem (czyli złożenia symetrii z przesunięciem o wektor równoległy do jej osi). Że przesunięcia są przeciwne, łatwo zauważyć pisząc math  Jeśli to obustronnie pomnożymy przez math (i  math zniknie), to otrzymamy math  czyli dwa przeciwne przesunięcia.

Rys. 1 Oba przekształcenia to symetrie z poślizgiem (czyli złożenia symetrii z przesunięciem o wektor równoległy do jej osi). Że przesunięcia są przeciwne, łatwo zauważyć pisząc math  Jeśli to obustronnie pomnożymy przez math (i  math zniknie), to otrzymamy math  czyli dwa przeciwne przesunięcia.

Co wobec tego oznacza napis math  Spójrzmy na rysunek 1. Dobierając proste math i  math tak, by było math  oraz math otrzymujemy math  a więc prawa strona badanej równości to złożenie symetrii względem math z przesunięciem o wektor math  podczas gdy lewa to złożenie przesunięcia o  math  z symetrią względem math  To jest to samo tylko wtedy, gdy math czyli badany napis oznacza, że math leży na math

Można by zatem – wobec tych obserwacji – podejrzewać, że za pomocą wprowadzonych na początku słów potrafimy w szczególności opisać geometrię płaszczyzny. I tak jest w istocie.

Kończąc dygresję historyczną, wypada powiedzieć, że kluczowym pojęciem pozwalającym na zrealizowanie fanaberii Leibniza było wyróżnienie zbioru liter przemiennych z daną literą – math oznaczać będzie dalej zbiór liter przemiennych z  math To pojęcie wprowadził i zastosował Arnold Schmidt (1902-1967), a sprawę doprowadził do końca Friedrich Bachmann (1909-1982).

Nauka obcego języka

Wiemy już, co w geometrii płaszczyzny oznacza math a co math Aby zobaczyć, jak wygląda tak opisywana geometria, trzeba przejść przynajmniej krótkie samokształcenie w używaniu leibnizowskiego języka.

Proszę odpowiedzieć na pytanie, co oznaczają następujące napisy:

display-math

Odpowiedzi znajdują się w numerze, ale proszę się postarać samodzielnie odczytać znaczenia. Wtedy stanie się jasne, że zmiana języka to poniekąd zmiana patrzenia na świat: to, co w uświęconym tradycją klasycznym szkolnym języku geometrii wyraża się prosto, tu może wyrażać się bardziej zawile, ale jest i odwrotnie – trudno formułowalne w języku klasycznym sytuacje po leibnizowsku niejednokrotnie będą bardzo proste.

Choćby taki fakt: słowo math daje się zawsze zastąpić słowem dwuliterowym i wynikający stąd natychmiast wniosek, że każde słowo ma odpowiednik co najwyżej trzyliterowy. Co to znaczy geometrycznie? I jak to udowodnić?

Okazuje się, że w tej sprawie kluczowy (i wystarczający) jest fakt:

Fakt. Jeśli math  lub math  to istnieje takie math że math

Przesłanki powyższego zdania klasycznie brzmią: math są współpękowe (prawda?). Ale takie spojrzenie pozwala nam na naturalne uogólnienie, że zbiór liter nazwiemy pękiem, gdy każdy trzyliterowy napis złożony z liter należących do tego zbioru da się zastąpić napisem jednoliterowym. Proszę sprawdzić, że punkty przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru tworzą pęk (jak by to brzmiało klasycznie?).

Czasami tłumaczenie bywa twórcze. Na przykład zdanie, które orzeka, że dla dowolnych liter math zachodzi

display-math

pełni rolę tzw. słowa Banacha, czyli pozwala stwierdzić, że w grupie izometrii płaszczyzny euklidesowej nie istnieją podgrupy wolne, co m.in. wyklucza paradoksalny rozkład na płaszczyźnie. Oryginalne słowo Banacha to twierdzenie:

Twierdzenie. Dla dowolnych izometrii płaszczyzny euklidesowej math i math przekształcenie

display-math

jest identycznością.

Które sformułowanie jest prostsze?

Kolejny przykład to

Twierdzenie (Michela Chasles’a). każda izometria jest postaci math lub math

Chasles wyrażał to w następujący sposób:

Twierdzenie. Każda izometria płaszczyzny jest przesunięciem, obrotem lub symetrią z poślizgiem.

(Równoważność obu sformułowań była już obecna w tekście tego artykułu).

Argumentem za tym, że pierwsze ze sformułowań jest bardziej nośne, może być fakt, iż Bachmann pod jego inspiracją stworzył odrębny dział teorii grup: grupy biinwolutywne, czyli takie, w których każdy z elementów jest inwolucją lub złożeniem dwu inwolucji. Do badania tego rodzaju obiektów może zachęcić spostrzeżenie, że

Fakt. Grupa izometrii przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru jest biinwolutywna.

czy jeszcze bardziej niespodziewane, że biinwolutywna jest też grupa bijekcji dowolnego zbioru.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Czy odmienny punkt widzenia pozwala zobaczyć coś nowego

Podam przykład problemu łatwego w stylu leibnizowskim i trudnego w stylu klasycznym. Co więcej – klasycznie trudno było nawet wpaść na pomysł, że taka prawidłowość może mieć miejsce.

Twierdzenie (Hjelmsleva). Jeśli math  i math  są przystającymi trójkami punktów współliniowych, to środki odcinków math  i  math  leżą na jednej prostej (Rys. 2).

Dowód. Odcinek math  a więc punkty math  można nałożyć na odcinek math  dwiema izometriami: jedną z nich będzie obrót lub przesunięcie, a drugą symetria z poślizgiem. W symetrii z poślizgiem zaś środek każdej pary punkt-obraz leży na jej osi (Rys. 3).



***

Pełny i zaawansowany wykład demonstrujący wykorzystanie tego języka można znaleźć w monografii Bachmanna Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegrieff, Springer, 1959. Ale jest pytanie, czy ktoś normalny, a zatem niebędący zawodowym matematykiem, z tego języka korzysta. Okazuje się, że tak – program geometrii w szkołach niemieckich korzysta z tego języka. Możemy się o tym przekonać, zaglądając do wydanego przez Prószyńskiego poradnika pod nazwą Atlas matematyki, będącego tłumaczeniem szkolnego poradnika używanego w Niemczech – geometria w nim jest mocno odmienna od tej, jaką znamy ze szkoły.


Tłumaczenia z leibnizowskiego na klasyczny
  • math tzn. math jest dwusieczną kąta math lub gdy są równoległe, ich linią środkową
  • math tzn. proste math mają wspólny punkt (kierunek) i math wyznaczają ten sam kąt (wektor), co math
  • math tzn. gdy math prosta math jest symetralną math a gdy math dowolną prostą przechodzącą przez math
  • math tzn. math są na wspólnej prostopadłej prostych math oba między tymi prostymi lub oba na zewnątrz; math w tej samej odległości od math co math od math
  • math tzn. proste są równoległe i gdy math punkt math leży na ich linii środkowej, a gdy math leży na math
  • math tzn. math jest środkiem math
Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24