Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Drobiazgi

Małe Wszechświaty

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: wrzesień 2017
  • Publikacja elektroniczna: 1 września 2017
  • Wersja do druku [application/pdf]: (60 KB)

Astrofizycy ostatnio twierdzą, że "Wszechświat jest płaski", co w ich żargonie oznacza, iż średnia krzywizna Wszechświata jest równa zeru (i tylko lokalnie jest zakłócana przez grawitację). Jeśli mają rację, to matematyka dowodzi, że Wszechświat przyjmuje jeden z 18 możliwych kształtów.

Wynika to z twierdzenia Felixa Kleina

Twierdzenie. Wszystkie lokalnie euklidesowe rozmaitości powstają z przestrzeni euklidesowej przez podzielenie jej przez jednostajnie nieciągłe podgrupy izometrii.

Wyjaśnijmy te terminy (rzecz jasna od końca).

Izometrie to przekształcenia zachowujące odległości. Grupa przekształceń to taki ich zbiór, w którym jest identyczność, wraz z każdym przekształceniem jest odwrotne do niego, a wraz z każdymi dwoma - ich złożenie. Podgrupa izometrii jest jednostajnie nieciągła, gdy każde z jej przekształceń odrzuca każdy niestały punkt co najmniej na z góry ustaloną odległość.

Podzielenie przez grupę polega na utożsamieniu (sklejeniu) tych wszystkich punktów, które dadzą się nałożyć przez któreś z przekształceń grupy.

Jeśli chcemy, by nasz model Wszechświata był ograniczony (czyli, by odległości w nim nie przekraczały jakiejś wielkości, np. 5 mld lat razy prędkość światła) i był orientowalny (patrz np. Co zobaczyła Alicja..., Delta 5/2017), to liczba możliwości maleje do sześciu. Te właśnie modele nazywa się Małymi Wszechświatami - chwilowo nie potrafimy stwierdzić, czy Wszechświat "wybrał" któryś z nich. Natomiast grupy astrofizyków wybierają dla siebie któryś z Małych Wszechświatów i piszą prace o tym, co by było, gdyby tak było; np. Wszechświat w łazience, Delta 1/2013.

Grupy określające te rozmaitości są wyznaczone, odpowiednio, przez przekształcenia

  • Tv,Tw, Tu ( |v,w,u nie leżą w jednej płaszczyźnie);
  • Tv,Tw, Ru,k,π(v u w) ; | Tv,Tw, Ru,k,π~2( v = w ,v u w, ?vw =π /2) ;
  • Tv,Tw, Ru,k,π~3 (jak poprzednio, tylko |?vw = π/3 );
  • | Tv,Tw, Ru,k,π (jak poprzednio, tylko | ?vw = 2π /3 );
  • Rv,k,π ,Rw,l, ( v | w, k i l skośne).

Ten pierwszy Mały Wszechświat powstaje z równoległościanu, w którym zlepiła się przednia ściana z tylną, lewa z prawą i górna z dolną. Wyobrażenie pozostałych pozostawiam Czytelnikom.