Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Jak pryska bańka mydlana?

Paweł Strzelecki

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: maj 2003
  • Publikacja elektroniczna: 01-01-2016
  • Autor: Paweł Strzelecki
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski

W ostatnich kilkunastu latach na pograniczu geometrii różniczkowej i teorii równań różniczkowych rozrósł się nowy, pokaźny dział matematyki, poświęcony badaniom krzywych i powierzchni, które poruszają się zgodnie z jakimś określonym przepisem, zmieniając wraz z upływem czasu swój charakter i własności. Różne punkty mogą przy tym poruszać się z różnymi prędkościami, wyznaczonymi przez rozmaite geometryczne charakterystyki krzywej czy powierzchni...

Badania te mają z jednej strony wyraźny kontekst stosowany (proszę pomyśleć, ilu w szerokim świecie jest bogatych sponsorów, których może interesować ruch cieniutkiej granicy między płynnym metalem a zakrzepłym stopem, albo ruch linii oddzielającej wilgotną jeszcze farbę od zaschniętej warstewki lakieru), z drugiej zaś wiążą się blisko z najpoważniejszymi problemami współczesnej geometrii.

Z obu powodów warto przedstawić Czytelnikom Delty choćby czubek góry lodowej - i opowiedzieć kilka słów o przykładach pojęciowo najprostszych, a przy tym dostatecznie ciekawych i trudnych. Chodzi o tak zwaną ewolucję krzywiznową. Podlegająca jej płaska krzywa zamknięta porusza się zgodnie z następującym przepisem: w ustalonej chwili wektor prędkości każdego punktu krzywej jest prostopadły do krzywej i ma długość równą wartości bezwzględnej krzywizny. Zanim opiszemy kilka własności takiego ruchu krzywych płaskich, przypomnimy definicje i powiemy, jak ustala się zwrot prędkości.

obrazek

Rys. 1 Czarne części krzywej mają krzywiznę dodatnią, kolorowe - ujemną. W zaznaczonych kropkami punktach krzywizna znika.

Rys. 1 Czarne części krzywej mają krzywiznę dodatnią, kolorowe - ujemną. W zaznaczonych kropkami punktach krzywizna znika.

Definicja. Krzywizna krzywej gładkiej y I R3 w punkcie y(s) to odwrotność promienia tego okręgu, który najlepiej ze wszystkich "pasuje" do krzywej w okolicy punktu y(s). Jeśli krzywa sparametryzowana jest długością łuku (tzn. przekształcenie y odpowiada podróży wzdłuż krzywej ze stałą, jednostkową szybkością - wektor styczny |y′ (s) ma dla każdego s długość 1), to krzywizna jest równa liczbie k(s) = y Dla krzywych płaskich wprowadza się krzywiznę ze znakiem.

W ewolucji krzywiznowej prędkość jest równa iloczynowi krzywizny i wektora normalnego wewnętrznego. Przyjęty wybór znaku krzywizny powoduje, że krzywe ograniczające zbiory wypukłe (jak np. okrąg, elipsa czy kontur jajka) - dla krótkości zwane dalej po prostu krzywymi wypukłymi - kurczą się. Jest jasne, że ostatecznie każda taka krzywa musi "wpaść sama na siebie". Powstaje więc naturalne pytanie: w jaki sposób się to odbywa? Czy w momencie katastrofy krzywa zamienia się w odcinek? W punkt?

Zanim odpowiemy na te pytania, podamy inne własności ewolucji krzywiznowej.

obrazek

Rys. 2 W chwili pierwszego spotkania zewnętrzna krzywa jest mniej zakrzywiona, więc powinna poruszać się wolniej.

Rys. 2 W chwili pierwszego spotkania zewnętrzna krzywa jest mniej zakrzywiona, więc powinna poruszać się wolniej.

  • Własność pierwsza: zakaz wyprzedzania. Jeśli w chwili początkowej krzywa γ 0 znajdowała się wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą σ0, to podczas ewolucji krzywiznowej dla wszystkich czasów t krzywe |σt i |γt będą rozłączne. Dlaczego tak się dzieje? Oto szkic najważniejszego argumentu. Przypuśćmy na chwilę, że jest inaczej i w pewnej chwili t krzywa |σ t po raz pierwszy dotknęła γt. W typowej sytuacji krzywizna σ t jest wtedy mniejsza niż krzywizna γt, bo przecież krzywa σt dotyka krzywej |γt od zewnątrz. Zatem prędkość krzywej σt jest mniejsza niż prędkość γt, co jednak wyklucza możliwość doścignięcia. (Gdy krzywizny obu krzywych w punkcie pierwszego spotkania są równe, potrzebny jest nieco subtelniejszy argument, wnikający głębiej w teorię równań różniczkowych.)
  • Własność druga: pole obszaru ograniczonego przez krzywą zmniejsza się w stałym tempie. Dowód tej własności pozostawimy jako zadanie dla szczególnie zainteresowanych Czytelników.
  • Własność trzecia: jeśli γ 0 jest okręgiem o promieniu r0, to γt jest współśrodkowym z γ 0 okręgiem o promieniu  √ ------ r(t) = r20− 2t. Nietrudno potwierdzić to rachunkiem. Podlegający ewolucji krzywiznowej okrąg pozostanie, rzecz jasna, okręgiem; przepis na prędkość prowadzi do równania dr 1 |dt =− r. Mnożąc je stronami przez 2r, otrzymujemy  2 d -rdt- = −2, czyli r2(t) = C Oczywisty dobór stałej |C prowadzi do przytoczonego wcześniej wzoru, który ma sens jedynie dla t ∈[0,t∗], gdzie t∗ = r20/2 jest czasem życia okręgu.

Każda krzywa zamknięta kurczy się więc proporcjonalnie szybko do pola, które początkowo ogranicza, z pewnością nie dłużej niż otaczający ją okrąg (to wynika z zakazu wyprzedzania). Pora na odpowiedź, co się dzieje w chwili ostatecznej katastrofy.

Twierdzenie 1 (M. Gage, R. Hamilton, 1986). Każda krzywa wypukła podlegająca ewolucji krzywiznowej kurczy się do okrągłego punktu.

Niektórzy Czytelnicy powiedzą może, że przecież wszystkie punkty są okrągłe. Sens sformułowania twierdzenia Gage'a i Hamiltona jest następujący: Przypuśćmy, że krzywe γt powstają w wyniku ewolucji krzywiznowej z |γ0. Jeśli tuż przed chwilą zniknięcia t∗ będziemy γ t oglądać przez mikroskop, to ujrzymy niemal idealny okrąg. Ściślej, jeśli |̃γt oznacza jednokładne powiększenie γ t w takiej skali, żeby pole wewnątrz ̃γ t było równe polu wewnątrz początkowej krzywej γ 0, to ̃γt jest bardzo bliskie okręgu: dla t t∗ krzywizna ̃γ t zbiega do stałej w tempie wykładniczym, a wszystkie pochodne krzywizny są zbieżne do zera.

obrazek

Rys. 3 Ewolucja krzywiznowa zmieni tę krzywą w brzeg obszaru wypukłego, a potem w "okrągły punkt". Stanie się to w czasie krótszym niż czas życia okręgu o promieniu r.

Rys. 3 Ewolucja krzywiznowa zmieni tę krzywą w brzeg obszaru wypukłego, a potem w "okrągły punkt". Stanie się to w czasie krótszym niż czas życia okręgu o promieniu r.

Okazuje się, że krzywe niewypukłe (takie, jak np. zawijas z rysunku 3) wcale nie znikają w jakiś bardziej widowiskowy sposób. Mówi o tym dość zaskakujące

Twierdzenie 2 (M. Grayson, 1987). Każda zamknięta krzywa płaska podlegająca ewolucji krzywiznowej w skończonym czasie stanie się wypukła.

Z obu twierdzeń wynika, że wszystkie płaskie krzywe zamknięte kurczą się wskutek ewolucji krzywiznowej do okrągłych punktów.

Gdy do rozważań doda się jeden wymiar, życie stanie się ciekawsze. Rozpatrzmy gładką powierzchnię | 3 S0⊂ R - taką, jak np. powyginana sfera, torus, czy precel - która rozpoczyna ewolucję średniokrzywiznową. Prędkość każdego punktu jest równa iloczynowi średniej krzywizny i wektora normalnego (zwrot ustalamy tak, by każda powierzchnia, która jest brzegiem zbioru wypukłego, kurczyła się do wewnątrz).

Niektóre własności ewolucji krzywiznowej na płaszczyźnie obowiązują i w tym przypadku. Wciąż mamy zakaz wyprzedzania, a kurcząca się sfera pozostaje sferą. G. Huisken udowodnił odpowiednik twierdzenia 1: powierzchnie, które ograniczają zbiory wypukłe, kurczą się do okrągłych punktów. (Definicja okrągłego punktu w przestrzeni jest podobna do definicji okrągłego punktu na płaszczyźnie; chodzi o to, że oglądając powierzchnię tuż przed zniknięciem przez mikroskop, widzimy niemal idealną sferę.)

obrazek

Rys. 4 Hantelek

Rys. 4 Hantelek

Natomiast twierdzenie 2 nie ma swojego odpowiednika. Przez pewien czas znane były eksperymenty numeryczne, wskazujące, iż powierzchnia w kształcie hantelka o odpowiednio masywnych ciężarkach i długiej rączce wcale nie skurczy się do okrągłego punktu: ścianki wąskiej rureczki powpadają na siebie, zanim pokaźne, krągłe bąble zdążą się zmniejszyć. Niepewny eksperyment komputerowy nie zastąpi jednak dowodu ...

Ścisły kontrprzykład podał w 1989 r. wspomniany już Grayson. Główna idea wykorzystuje częsty zabieg: większość równań można znacznie uprościć, rozpatrując rozwiązania obdarzone jakąś symetrią.

Grayson rozumował przez zaprzeczenie. Przypuśćmy, że hantelek Γ 0 kurczy się do okrągłego punktu po czasie |t∗ . Umieśćmy Γ0 wewnątrz nieskończonej, okresowej powierzchni obrotowej |S0, złożonej z dużych obłych bąbli złączonych wąziutkimi rurkami. Powierzchnia S0 będzie ewoluować nie krócej niż Γ 0 ; to wynika z zakazu wyprzedzania. Znając promień (a więc czas życia) sfery mieszczącej się w każdym bąblu, można oszacować t∗ z dołu. Z drugiej strony, stosunkowo proste równanie ewolucji powierzchni obrotowej St startującej z S0 pozwala oszacować tempo, w jakim zmniejsza się pole podłużnego przekroju osiowego każdej z cienkich rurek. Okazuje się, że po czasie t∗ owo pole musiałoby stać się ujemne! Zatem hantelek nie kurczy się do okrągłego punktu, o ile rurka jest dostatecznie wąska i długa, a bąble pokaźne.

Elastyczna błona oddzielająca dwa obszary o różnych ciśnieniach, na przykład bańka mydlana, jest powierzchnią o stałej średniej krzywiźnie. Rozumowanie Graysona można dostosować do równania, opisującego ruch błony pod wpływem zmiennej różnicy ciśnień, spowodowanej np. dmuchaniem w bańkę mydlaną. Każdy wie, że w przestrzeni trójwymiarowej można przez słomkę wydmuchiwać bańki (i trzeba dmuchać dość mocno i w miarę regularnie - w przeciwnym razie bańka pryska albo zaczyna się kurczyć).

A biedne Płaszczaki muszą się, niestety, zabawiać inaczej.