Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co to jest?

Geometria Minkowskiego

Wojciech Kopczyński

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: lipiec 1997
  • Publikacja elektroniczna: 25-03-2011

Formułując szczególną teorię względności (STW) Einstein nie używał pojęcia czasoprzestrzeni – zbioru zdarzeń, operował oddzielnie pojęciami czasu i przestrzeni. Pojęcie czasoprzestrzeni pojawiło się podczas odczytu wygłoszonego w 1908 roku przez Hermanna Minkowskiego w Kolonii. Minkowski pokazał, że do opisu STW wygodnie jest posługiwać się szczególną czterowymiarową geometrią, nazwaną później jego nazwiskiem.

Za datę powstania szczególnej teorii względności (STW) przyjmuje się rok 1905, w którym ukazał się artykuł Alberta Einsteina Zur Elektrodynamik der bewegter Körper – w tłumaczeniu polskim O elektrodynamice ciał w ruchu. W artykule tym została zawarta w zasadzie cała treść fizyczna STW, zwłaszcza zaś zależność pomiarów czasu i długości od obserwatora uwidoczniona w efektach dylatacji czasu i skrócenia długości Lorentza-Fitzgeralda. Te i inne efekty relatywistyczne okazały się konsekwencjami przekształceń Lorentza, łączących współrzędne czasoprzestrzenne (t, x, y, z) jednego obserwatora inercjalnego ze współrzędnymi math innego takiego obserwatora. (Przez obserwatora inercjalnego rozumiemy takiego obserwatora, dla którego ruchy swobodne są ruchami prostoliniowymi i jednostajnymi.) Przekształcenia Lorentza mają postać

display-math

przy czym: użyłem układu jednostek, w którym prędkość światła jest math przyjąłem, że obserwator o współrzędnych primowanych porusza się z prędkością math w dodatnim kierunku osi math oraz że w chwili mijania się obserwatorów wszystkie ich współrzędne wynoszą zero.

Formułując STW Einstein nie używał pojęcia czasoprzestrzeni – zbioru zdarzeń, operował oddzielnie pojęciami czasu i przestrzeni, mimo że każdy obserwator inercjalny – jak sugerują to przekształcenia Lorentza – ma swój własny czas i przestrzeń. Pojęcie czasoprzestrzeni pojawiło się podczas odczytu wygłoszonego w 1908 roku przez Hermanna Minkowskiego w Kolonii. Minkowski pokazał, że do opisu STW wygodnie jest posługiwać się szczególną czterowymiarową geometrią, nazwaną później jego nazwiskiem.

Osoby stykające się po raz pierwszy z geometria czasoprzestrzeni często nie umieją sobie poradzić z dylematem: jak pogodzić geometrię z czterowymiarowością. Fachowcy radzą uzmysłowić sobie, że aby opisać zdarzenie należące np. do historii pewnego punktu materialnego, trzeba podać cztery liczby – jedną określającą czas zajścia zdarzenia i trzy określające jego położenie. Laikom rada ta rzadko pomaga. Można spróbować więc innej drogi i zamiast opisywać czterowymiarową czasoprzestrzeń, zająć się dwuwymiarową czasoprostą. I to jest chyba właściwy sposób, bo wszystkie istotne cechy 4-wymiarowej geometrii Minkowskiego widoczne są w jej 2-wymiarowym wariancie. Zajmę się więc geometrią czasoprostej, tj. zbiorem zdarzeń należących do historii pewnej prostej spoczywającej względem pewnego obserwatora inercjalnego. Na czasoprostej z przekształceń Lorentza pozostaje to, co istotne,

display-math

a o współrzędnych math i math można zapomnieć. Do sparametryzowania tych przekształceń wygodnie jest użyć – zamiast prędkości mathkąta hiperbolicznego math określonego wzorem

display-math

Stosując wzory trygonometrii hiperbolicznej math i math szybko otrzymuję

display-math

a przekształcenia Lorentza przybierają postać

display-math

Wzory te jako żywo przypominają wzory na obrót kartezjańskiego układu wspólrzędnych wokół jego początku. Aby się o tym przekonać, należy podstawić math oraz math Korzystając wtedy z tożsamości math oraz math otrzymuję

display-math

czyli wzory na obrót.

Kąt hiperboliczny math jest bardzo wygodnym sposobem parametryzacji przekształceń Lorentza. Przy składaniu przekształceń Lorentza kąty hiperboliczne dodają się – podobnie jak dodają się zwykłe kąty przy składaniu obrotów. W ten sposób kąt hiperboliczny przejmuje rolę prędkości z fizyki przedrelatywistycznej. Jeśli mamy trzech obserwatorów, obserwator 2 porusza się względem obserwatora l z prędkością math a obserwator 3 porusza się względem obserwatora 2 z prędkością math to prędkość obserwatora 3 względem obserwatora l dana jest w fizyce przedrelatywistycznej wzorem math a w fizyce relatywistycznej uwikłanym wzorem math

Geometria Minkowskiego przejmuje z geometrii euklidesowej pojęcia afiniczne, a więc pojęcia punktu, prostej i prostych równoległych (które nigdzie się nie przecinają). Różni się zaś od geometrii euklidesowej pojęciami metrycznymi, a więc takimi jak długość odcinka (wektora), pojęcie kąta między prostymi i twierdzenie Pitagorasa.

Warto zauważyć, że odpowiednikiem kwadratu wektora o początku w punkcie math i końcu w punkcie math czyli

display-math

jest w geometrii Minkowskiego liczba

display-math

która zwana jest interwałem i która przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak ujemne. W związku z tym wektory dzielimy na: czasowe – dla których liczba ta jest ujemna, zerowe – dla których wynosi zero i przestrzenne – dla których jest dodatnia. Końce wektorów zerowych w czasoprostej leżą na tzw. prostych zerowych math (w czasoprzestrzeni zaś tworzą tzw. stożek Minkowskiego).

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Mając już pojęcie kwadratu math wektora math można stworzyć pojęcie iloczynu skalarnego wektorów math i math stosując wzór

display-math

Wektory math takie że, math nazywamy prostopadłymi. Łatwo zauważyć, że do wektora czasowego może być prostopadły tylko wektor przestrzenny, natomiast wektor zerowy jest prostopadły tylko do współliniowego z nim wektora zerowego (uwaga: wymiar = 2). Oś math jest prostopadła do osi math a ponieważ wszyscy obserwatorzy inercjalni są równoprawni, więc dotyczy to także osi math i math Gdy wykonasz rysunki tych osi posługując się przekształceniami Lorentza, Twoja euklidesowa intuicja powie Ci, że te stwierdzenia nie mogą być jednocześnie prawdziwe dla obu par osi. Chcąc wyczuć geometrię Minkowskiego, powinieneś więc częściowo odejść od euklidesowej intuicji.

Aby można było zbudować na czasoprostej trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych musi być czasowa, a druga przestrzenna. Skieruję wzdłuż tych przyprostokątnych osie math i math odpowiadające pewnemu obserwatorowi inercjalnemu. Przeciwprostokątna możne być czasowa, zerowa lub przestrzenna.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

W przypadku gdy przeciwprostokątna jest czasowa, można wzdłuż niej skierować oś math pewnego obserwatora inercjalnego (Rys. 1), a odpowiednik wzoru Pitagorasa przybierze postać math Na przeciwprostokątnej jest math więc przekształcenia Lorentza dają math czyli

display-math

Zatem ta forma wzoru Pitagorasa odpowiada efektowi dylatacji czasu: czas w układzie poruszającym się biegnie wolniej.

W przypadku gdy przeciwprostokątna jest przestrzenna, można wzdłuż niej skierować oś math pewnego obserwatora inercjalnego (Rys. 2), a odpowiednik wzoru Pitagorasa przyjmie postać math Teraz na przeciwprostokątnej math czyli

display-math

Zatem ta forma wzoru Pitagorasa odpowiada efektowi skrócenia Lorentza-Fitzgeralda: pręt poruszający się jest widziany jako krótszy.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24