Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

W rozumowaniach był błąd

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: czerwiec 2012
  • Publikacja elektroniczna: 02-06-2012

W poprzednim numerze Delty przedstawiłem trzy dowody V postulatu Euklidesa. Dla wszystkich Czytelników było jasne, że zawierają one błędy. Fakt, że mimo to każdy z nich przez pewien czas był uznany za poprawny, wskazuje na ogromny kłopot, jakim dla myślicieli – już niekoniecznie matematyków – było przyjęcie do wiadomości, że mogą istnieć dwie wykluczające się, ale poprawne, a więc w szczególności niesprzeczne teorie opisujące ten sam obiekt, w tym przypadku przestrzeń. A przecież przestrzeń, w której „odbywa się” Wszechświat, jest jedna.

Powstało więc pytanie, jak – niezależnie od odwoływania się do Natury – można stwierdzić poprawność teorii. Rozwiązanie przyniosła lekka modyfikacja tego pytania przez Felixa Kleina: zapytał on

jak stwierdzić, że jedna teoria jest co najmniej tak poprawna, jak druga?

I odpowiedział na to pytanie: jeśli w teorii math można zbudować model teorii math to teoria math jest co najmniej tak samo poprawna, jak teoria math

Po czym zbudował (w 1870 roku) model geometrii powstającej przez dołączenie do czterech początkowych postulatów Euklidesa zaprzeczenia piątego postulatu w geometrii euklidesowej (model Kleina) oraz w tej geometrii model geometrii euklidesowej (horysfera). W ten sposób wykazał, że obie geometrie są jednakowo poprawne.

A filozoficzny problem istnienia dwu teorii opisujących ten sam obiekt został niewiele później rozstrzygnięty według pomysłu fizyka, Hermanna Helmholtza, który w pracy O faktach, które leżą u podstaw geometrii zaproponował, by matematyki nie uważać za naukę przyrodniczą, lecz za skrzynkę z narzędziami do uprawiania nauk przyrodniczych.

Model Kleina

Do wskazania błędów w przytoczonych dowodach V postulatu potrzebny będzie nam – rzecz jasna – tylko pierwszy z modeli zbudowanych przez Kleina. Oto on.

  • Płaszczyzną będzie wnętrze koła (bez brzegu! – oznaczmy ten brzeg math).
  • Prostymi będą cięciwy tego koła (oczywiście, bez końców).
  • Proste będą prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy przedłużenie jednej z nich przechodzi przez punkt przecięcia stycznych do math w końcach drugiej (okazuje się, że jest to relacja symetryczna) lub gdy jedna z nich przechodzi przez środek koła, a druga jest euklidesowo do niej prostopadła.

To określa model całkowicie, a wynika z tego, między innymi, że

  • odległość punktów math  i  math  to
    math
    gdzie math i  math  to końce prostej math  to euklidesowa długość odcinka math  a  math jest dowolnie ustaloną stałą dodatnią;
  • punkty równoodległe od prostej tworzą elipsę styczną do math w końcach tej prostej;
  • kąt między prostymi to euklidesowy kąt, jaki tworzą okręgi prostopadłe do math i przechodzące przez końce tych prostych.
obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Czytelnik Ciekawski może z tego wyprowadzić wszelkie własności tej nieeuklidesowej geometrii zwanej geometrią BolyaiaŁobaczewskiego na cześć dwóch odważnych matematyków, którzy pierwsi uparli się, że taka geometria istnieje (lub geometrią hiperboliczną ze względu na jej analityczne własności). My zauważymy wstępnie, że nie jest w niej spełniony V postulat: przez punkt math poza prostą math przechodzi nieskończenie wiele prostych z nią rozłącznych (Rys. 1). O tych dwu, które mają z  math wspólne końce, mówimy, że są do math równoległe, o pozostałych – że są nadrównoległe.


Na czym polegały błędy?

Już z oglądu rysunku 1 można stwierdzić, że Saccheri żadnego błędu matematycznego nie popełnił – w geometrii Bolyaia–Łobaczewskiego (B–Ł) proste równoległe są asymptotyczne. Mylił się tylko w intuicji, że takie coś prostym przydarzyć się nie może. Faktycznie jego praca Euclides ab omni naevo vindicatus była pierwszą pracą z geometrii B–Ł, ale o tym przekonano się dopiero dwa wieki później.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Legendre popełnił – można powiedzieć – pół błędu: pierwsza część jego dowodu, gdy wykazuje, że suma kątów trójkąta w geometrii absolutnej nie może być większa od math jest poprawna. Uzyskany wynik dziś nazywa się twierdzeniem Saccheriego–Legendre’a, bo i u Saccheriego można znaleźć podobne rozumowanie.

Natomiast dowód, że nie ma trójkątów o sumie kątów mniejszej od math korzysta ze zdawałoby się oczywistej przesłanki: przez punkt wewnątrz kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba jego ramiona. Jej fałszywość widać na rysunku 2 Kolorowa prosta jest równoległa do obu ramion kąta – nazywa się ją prostą zagradzającą. Zacieniowany obszar za nią składa się – co łatwo sprawdzić linijką – z punktów, przez które nie można poprowadzić prostej przecinającej oba ramiona kąta (punkty math  i  math  z dowodu Legendre’a mogą nie istnieć).

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Sprawa z dowodem Farkasa Bolyaia jest (chyba) prostsza, choć obrazek będzie większy. Okazuje się bowiem, że w geometrii B–Ł istnieją trójkąty, na których nie można opisać okręgu – po prostu symetralne ich boków nie przecinają się! Pokazuje to rysunek 3

Nieprzecinające się proste math i  math będą symetralnymi trójkąta, który buduje się tak. Bierzemy między nimi jakiś punkt math i rysujemy elipsy przechodzące przez ten punkt i styczne do math odpowiednio w końcach prostych math i  math – są to linie, które składają się z punktów odległych tak jak math odpowiednio od prostej math i  math (druga czarna kropka na poprzedniej stronie) – zatem math jest środkiem math  a  math  środkiem math  Każda prosta, której przedłużenie przechodzi przez math  (przez math), jest prostopadła do math (do math) – trzecia kolorowa kropka. Zatem math jest symetralną math a  math  symetralną math  Wobec tego na trójkącie math nie można opisać okręgu.

Inne zdania równoważne V postulatowi

Zatem każde ze zdań

  • przez punkt wewnętrzny kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta;
  • na trójkącie można opisać okrąg;

jest równoważne V postulatowi na gruncie początkowych czterech.

Czytelnik Zainteresowany sprawdzi, że podobnie jest ze zdaniami:

  • istnieją nieprzystające trójkąty podobne;
  • na płaszczyźnie każda prosta przecina przynajmniej jedną z przecinających się prostych;
  • istnieją trzy współliniowe punkty jednakowo odległe od danej prostej;
  • odległość punktów zorientowanej prostej od innej prostej jest funkcją monotoniczną;
  • odległość punktów prostej od współpłaszczyznowej i rozłącznej z nią prostej jest ograniczonado wyboru: z góry lub z dołu);
  • istnieje prostokąt;
  • wysokości trójkąta przecinają się

itd.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24