Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. obrazek

    Euklides
    (ok.365 p.n.e.-ok. 300 p.n.e.)

    Euklides
    (ok.365 p.n.e.-ok. 300 p.n.e.)

    Geometrie nieeuklidesowe

    Inne światy, inne geometrie

    Geometrię szkolną nazywamy euklidesową, bo jej pierwsze aksjomaty zostały podane w Elementach Euklidesa (około -300). Wśród nich wyróżniał się aksjomat mówiący o tym, że na płaszczyźnie przez punkt poza prostą można poprowadzić tylko jedną prostą z nią rozłączną. Zasugerowana przez Proklosa (V wiek) możliwość wyprowadzenia tego aksjomatu z pozostałych przez następne 1300 lat drażniła ambicje praktycznie wszystkich matematyków, co owocowało dowodami błędnymi (bo opartymi na przesłankach, które same nie miały dowodów).

  2. Stereometria Drobiazgi

    Brzydka prawda

    Wielościan wypukły, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, może mieć ściany trójkątne, czworokątne lub pięciokątne. Ostatnie dwa przypadki realizują się tylko w postaci sześcianu i dwunastościanu...

  3. Planimetria Mała Delta

    Inwersja w różnych metrykach

    Wiele przedmiotów zawdzięcza swe istnienie kompozycji dwóch pozornie niewspółistniejących ze sobą idei. Louis Braille połączył koncepcję zapisu graficznego, czyli odczytywanego za pomocą wzroku, ze sposobem zapisywania wiadomości zaprojektowanym dla ludzi niewidomych, którzy korzystają ze zmysłu dotyku. W rezultacie powstał alfabet dla niewidomych, który można odczytać także za pomocą wzroku. Podobnie narodził się pomysł na zbadanie obrazów inwersyjnych w różnych metrykach...

  4. obrazek

    Geometria Mała Delta

    Tam, gdzie matematyka, sztuka i magia łączą swoje siły, czyli słów kilka o origami

    Mówi się, że origami powstało dwa tysiące lat temu wraz z wynalezieniem papieru. W tym kontekście wydaje się zaskakujące, że początek odkrywania matematyki stojącej za składaniem papieru przypada dopiero na lata osiemdziesiąte zeszłego stulecia. Dziś gałąź nauki zwana origami obliczeniowe (ang. computational origami) rozwija się bardzo prężnie.

  5. Geometrie nieeuklidesowe Mała Delta

    Geometria dziewięciu punktów

    Czysty zeszyt, cyrkiel, linijka, kątomierz, liniuszek - standardowy szkolny ekwipunek lekcji geometrii. Ale istnieją również inne geometrie, w których do konstrukcji figur nie jest potrzebne żadne oprzyrządowanie. Jedną z nich jest geometria dziewięciu punktów, gdzie bez linijki czy cyrkla można "konstruować" całkiem dokładnie koła, trójkąty i inne figury.

  6. obrazek

    Planimetria Deltoid

    Boki trójkąta

    Jeśli w nierówności, którą chcemy uzasadnić, występują długości boków |a;b;c pewnego trójkąta, często przydaje się podstawienie Raviego: |a = y + z; b = z + x; c = x + y ; gdzie x;y ;z > 0: Takie liczby |x;y;z zawsze istnieją, są to bowiem długości odcinków stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt.

  7. Planimetria

    Kwadraty

    Euklides w Elementach pisał: "... kwadrat jest tym, co równoboczne i prostokątne...". Oto kilka niebanalnych obserwacji, w których kwadrat jest jednym z bohaterów.

  8. Planimetria Deltoid

    W jednym punkcie

    W wielu zadaniach należy uzasadnić, że pewne trzy proste przecinają się w jednym punkcie. Często można wykazać, że wszystkie one są symetralnymi, dwusiecznymi, wysokościami albo środkowymi pewnego trójkąta, co oczywiście kończy dowód.

  9. obrazek

    Geometria Mała Delta

    Z żabami przez symetrię

    Chyba każdy patrzył kiedyś w kalejdoskop - prostokątne lustra odbijające różnobarwne wzory powstałe z przesypujących się koralików. Nie znam nikogo, kto mając w ręku owo urządzenie, byłby w stanie powstrzymać się przed choćby najmniejszym obróceniem nim i zerknięciem przez małe oczko na otrzymany efekt. A gdyby odwrócić sytuację i zbadać, jak zmieni się obraz, gdy zamiast koralikami poruszymy lustrami znajdującymi się w kalejdoskopie? Zacznijmy od wyprawy do szklarza i wyboru bohatera kalejdoskopowych przygód - po starannym castingu wygrywa żaba.

  10. Stereometria Nowości z przeszłości

    Jeszcze raz o wzorze Eulera, czyli zastosowanie stawów i grobli w stereometrii

    W 1752 roku znakomity matematyk szwajcarski Euler, podówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami |s;k;w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego |W: Związek ten jest obecnie nazywany wzorem Eulera dla wielościanów i zwykle zapisuje się go w postaci

    s − k + w = 2:

    Podamy elementarny i chyba nader zabawny dowód tego wzoru.

  11. Planimetria Deltoid

    Dwusieczne

    Skoro dwusieczna to półprosta dzieląca kąt na dwa równe kąty, to dlaczego dwusieczne kątów wewnętrznych każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie? Otóż...