Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Planimetria Deltoid

    W jednym punkcie

    W wielu zadaniach należy uzasadnić, że pewne trzy proste przecinają się w jednym punkcie. Często można wykazać, że wszystkie one są symetralnymi, dwusiecznymi, wysokościami albo środkowymi pewnego trójkąta, co oczywiście kończy dowód.

  2. obrazek

    Geometria Mała Delta

    Z żabami przez symetrię

    Chyba każdy patrzył kiedyś w kalejdoskop - prostokątne lustra odbijające różnobarwne wzory powstałe z przesypujących się koralików. Nie znam nikogo, kto mając w ręku owo urządzenie, byłby w stanie powstrzymać się przed choćby najmniejszym obróceniem nim i zerknięciem przez małe oczko na otrzymany efekt. A gdyby odwrócić sytuację i zbadać, jak zmieni się obraz, gdy zamiast koralikami poruszymy lustrami znajdującymi się w kalejdoskopie? Zacznijmy od wyprawy do szklarza i wyboru bohatera kalejdoskopowych przygód - po starannym castingu wygrywa żaba.

  3. Stereometria Nowości z przeszłości

    Jeszcze raz o wzorze Eulera, czyli zastosowanie stawów i grobli w stereometrii

    W 1752 roku znakomity matematyk szwajcarski Euler, podówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami |s;k;w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego |W: Związek ten jest obecnie nazywany wzorem Eulera dla wielościanów i zwykle zapisuje się go w postaci

    s − k + w = 2:

    Podamy elementarny i chyba nader zabawny dowód tego wzoru.

  4. Planimetria Deltoid

    Dwusieczne

    Skoro dwusieczna to półprosta dzieląca kąt na dwa równe kąty, to dlaczego dwusieczne kątów wewnętrznych każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie? Otóż...

  5. Stereometria Deltoid

    w - k + s = 2

    Oznaczmy przez w ;k;s liczby odpowiednio wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu. W każdym wierzchołku schodzą się co najmniej trzy końce krawędzi i każda krawędź ma dwa końce, zatem |2k ⩾ 3w : Podobnie każda ściana ma co najmniej trzy boki, a każda krawędź należy do dwóch ścian, więc 2k ⩾ 3s: Ponadto jeśli wielościan jest wypukły, zachodzi wzór Eulera: w −k + s = 2:

  6. Geometria Co to jest?

    Iloczyn skalarny

    Jednym z podstawowych wzorów trygonometrycznych jest twierdzenie kosinusów podające zależność między bokami trójkąta a jednym z jego kątów:  2 2 2 c = a + b − 2ab cosC: Na formułę tę można patrzeć jako na uogólnienie twierdzenia Pitagorasa (do którego sprowadza się, gdy kąt C jest prosty, czyli cosC = 0):

  7. obrazek

    wikipedia

    Alfred Tarski (1901-1983)

    wikipedia

    Alfred Tarski (1901-1983)

    Planimetria

    O stopniu równoważności wielokątów

    W artykule tym pragnę omówić pewne pojęcia, należące całkowicie do zakresu geometrii elementarnej, a dotąd niemal wcale nie zbadane. Jak wiadomo, dwa wielokąty W i V nazywamy równoważnymi, wyrażając to wzorem: |W ∼V; jezeli dają się one podzielić na jednakową ilość wielokątów odpowiednio przystających...

  8. obrazek

    Gwoli precyzji ustalmy, że trzymając przed sobą zetknięte połówki przeciętej bryły obrotowej (prawą i lewą), obracamy prawą z nich ruchem do siebie.

    Gwoli precyzji ustalmy, że trzymając przed sobą zetknięte połówki przeciętej bryły obrotowej (prawą i lewą), obracamy prawą z nich ruchem do siebie.

    Stereometria Mała Delta

    Sferostożki więcej i bardziej

    Taka sobie niewinnie wyglądająca bryłka. Ot, powstała z obrotu kwadratu dookoła jego przekątnej, przecięcia tego, co powstało, na dwie identyczne części (wzdłuż płaszczyzny kwadratu), przekręceniu połowy o  ○ 90 i doklejeniu do drugiej części (czekającej w tym czasie w bezruchu). Szczęśliwa całość - sferostożek (ang. sphericon).

  9. obrazek

    Dwunastościan gwiaździsty mały

    Dwunastościan gwiaździsty mały

    Stereometria

    Wielościany gwiaździste

    Jeśli przy definiowaniu wielokąta zrezygnujemy z warunku, aby łamana tworząca go była zwyczajna, otrzymamy nową klasę wielokątów foremnych, tzw. gwiaździstych.

  10. Geometria różniczkowa

    Jak pryska bańka mydlana?

    W ostatnich kilkunastu latach na pograniczu geometrii różniczkowej i teorii równań różniczkowych rozrósł się nowy, pokaźny dział matematyki, poświęcony badaniom krzywych i powierzchni, które poruszają się zgodnie z jakimś określonym przepisem, zmieniając wraz z upływem czasu swój charakter i własności. Różne punkty mogą przy tym poruszać się z różnymi prędkościami, wyznaczonymi przez rozmaite geometryczne charakterystyki krzywej czy powierzchni...

  11. Planimetria

    Od kwadratu

    Rozpatrzmy dowolny trójkąt oraz cztery kwadraty zbudowane w sposób przedstawiony na rysunku 1. Wówczas zaznaczone kolorem trzy odcinki, łączące odpowiednie wierzchołki kwadratów oraz środek najniższego kwadratu, przecinają się w jednym punkcie.

  12. Planimetria Deltoid

    Mały wybór? I dobrze!

    Izometrią nazywamy przekształcenie, które nie zmienia odległości między punktami. Obrazy trzech niewspółliniowych punktów jednoznacznie ją wyznaczają. Twierdzenie Chaslesa głosi, że każda izometria płaszczyzny jest przesunięciem, obrotem lub symetrią z poślizgiem.

  13. obrazek

    Planimetria

    Siedmiokąta foremnego nie można skonstruować cyrklem i linijką

    ...a pięciokąt foremny można. Obok pokazana jest konstrukcja dziesięciokąta foremnego - kolorowy odcinek ma długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w większy okrąg, a więc biorąc co drugi z wierzchołków takiego dziesięciokąta, otrzymamy pięciokąt foremny. Konstrukcja jest - jak widać - bardzo prosta. Ma tylko tę wadę, że nie wskazuje, jak konstruować inne wielokąty foremne.

  14. obrazek

    Stereometria

    Wypełniane przestrzeni

    Problem wypełnienia przestrzeni bez luk jednakowymi wielościanami okazuje się wcale nie tak prosty, jak na pierwszy rzut oka można oczekiwać. Spośród pięciu wielościanów platońskich tylko jeden nadaje się do tego. Oczywiście, jest to sześcian...

  15. Planimetria

    Prostokąty na trójkącie

    Z twierdzeniem Pitagorasa wszyscy się znamy, budowanie kwadratów na bokach trójkąta prostokątnego nie jest niczym nadzwyczajnym. A co możemy powiedzieć ciekawego o prostokątach skonstruowanych na bokach dowolnego trójkąta?