Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Planimetria Deltoid

    Oszustwa

    Udowodnimy kilka ewidentnych bzdur, na przykład istnienie okręgu o dwóch środkach czy równość math Zachęcam Czytelników do samodzielnego odszukania błędów w tych dowodach przed lekturą zamieszczonych na końcu wyjaśnień.

  2. Stereometria

    Siatka czworościanu

    Czworościan to ostrosłup. Wybieramy jedną ścianę – „podstawę”; trzy ściany „boczne” odchylamy na zewnątrz, jakby były na zawiasach. Gdy się ułożą w płaszczyźnie podstawy, uzyskamy układ czterech trójkątów – płaską siatkę czworościanu; może ona ułatwić (lub utrudnić) jego wizualizację...

  3. Stereometria Co to jest?

    Wielościany drżące i wielościany multistabilne

    W Delcie była już mowa o ruchomych wielościanach, nazywanych też fleksorami; artykuły o nich ukazały się w 1987 i 1997 roku. Ruchomość wielościanu polega na tym, że gdybyśmy zbudowali model o sztywnych ścianach, a krawędziach poruszających się jak zawiasy, to moglibyśmy nim poruszać bez odkształcania ścian. Choć wydaje się to zaskakujące, ruchome wielościany rzeczywiście istnieją i zbudowanie takich brył, choćby z papieru, nie jest bardzo trudne.

  4. Stereometria Kącik przestrzenny

    O pożytku ze sfery wpisanej

    W tym kąciku chcielibyśmy powrócić do pewnych własności sfery wpisanej w czworościan, o których pisaliśmy w kąciku 2 o najmocniejszym twierdzeniu stereometrii (Delta 3/2010). Okazuje się, że można je wykorzystać do udowodnienia faktów pozornie niezwiązanych ze sferą wpisaną.

  5. Geometria

    Słowa, słowa, słowa...

    Słowa, którymi będziemy się zajmowali, będą napisami złożonymi z liter jednego lub kilku zbiorów (na początek przyjmijmy, że zbiory są dwa – jeden zawiera małe litery łacińskie, a drugi duże) o tej własności, że dwie jednakowe litery umieszczone po kolei będą znikały. Napis, w którym wszystko znikło (czasem i taki jest potrzebny), będzie oznaczany 1.

  6. obrazek

    Geometria Co to jest?

    Dziewięć twarzy płaszczyzny rzutowej

    W Delcie 6/2011 artykuł Marii Donten-Bury o płaszczyźnie rzutowej został poprzedzony przedstawieniem sześciu jej (płaszczyzny, nie Marysi) postaci, pod jakimi daje się nam ona zaobserwować. Wobec tego, że postacie te są bardzo różnorodne, nasunąć się może wątpliwość, czy faktycznie wszystkie są wcieleniami tego samego matematycznego obiektu. Poniżej jest przedstawiony sposób, jak tę wątpliwość można rozstrzygnąć.

  7. Planimetria

    Wędrówki po okręgu

    Matematycy od wielu lat zajmują się wędrówką po okręgu. Jednym z najbardziej znanych przykładów jest chyba skakanie po nim w określonym kierunku tak, by między kolejnymi punktami, w których się znajdziemy, była określona odległość math (mierzona wzdłuż łuku). Naturalne staje się wówczas pytanie, czy skacząc tak po okręgu, wrócimy kiedykolwiek do punktu wyjścia (widać, że rozwiązanie problemu nie zależy od punktu startowego)? Odpowiedź nasuwa się prędko – powrót nastąpi tylko wówczas, gdy stosunek długości okręgu do liczby math jest liczbą wymierną. Spróbujmy tym razem powędrować w inny sposób, określony geometrycznie.

  8. Stereometria Kącik przestrzenny

    Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny

    Kiedy na płaszczyźnie mamy do czynienia z okręgami, to bardzo często posługujemy się rachunkiem na kątach, ponieważ znamy wiele przydatnych twierdzeń i faktów z tego zakresu. Niestety, trudno o analogiczne narzędzia w przestrzeni. Stanowi to wielki kłopot, gdy zmagamy się z zadaniami o sferach. Istnieje jednak kilka innych technik, skutecznych w zadaniach o okręgach, które działają również w przestrzeni. Są to: potęga punktu, jednokładność oraz inwersja. O tej ostatniej metodzie opowiemy w tym kąciku.

  9. Stereometria Deltoid

    Okręgi wielkie

    Którędy przebiega najkrótsza droga lotnicza z Warszawy do Vancouveru? Wbrew pozorom – mimo podobnej szerokości geograficznej – wcale nie wzdłuż równoleżnika, a nad Grenlandią, o czym łatwo się przekonać, naciągając nitkę na globusie.

  10. Planimetria

    Okrąg dziewięciu punktów i pewne dwa fakty

    Trzy niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie jednoznacznie wyznaczają okrąg, który przez nie przechodzi. Zatem jeśli pewne cztery punkty leżą na jednym okręgu, to jest to fakt godny odnotowania. W geometrii istnieje niezwykle urocze twierdzenie, które mówi, że aż dziewięć szczególnych punktów trójkąta leży na jednym okręgu.

  11. Stereometria Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

    Wszystko może się przydać

    Panuje przekonanie, że w nauczaniu matematyki powinno się eksponować fakt, że ma ona zastosowania. Gdy przyjrzeć się podręcznikom, a zwłaszcza testom kwalifikacyjnym, trudno oprzeć się wrażeniu, że są to rzeczy w stylu mierzenia wysokości piramidy za pomocą długości jej cienia i twierdzenia Talesa, lub też zadań w stylu: jeśli dwóch robotników kopie rów w ciągu 2 godzin, to ilu ich potrzeba, aby ten rów wykopać w 15 sekund? (odpowiedź: 1440).

  12. Geometrie nieeuklidesowe

    W rozumowaniach był błąd

    W poprzednim numerze Delty przedstawiłem trzy dowody V postulatu Euklidesa. Dla wszystkich Czytelników było jasne, że zawierają one błędy. Fakt, że mimo to każdy z nich przez pewien czas był uznany za poprawny, wskazuje na ogromny kłopot, jakim dla myślicieli – już niekoniecznie matematyków – było przyjęcie do wiadomości, że mogą istnieć dwie wykluczające się, ale poprawne, a więc w szczególności niesprzeczne teorie opisujące ten sam obiekt, w tym przypadku przestrzeń. A przecież przestrzeń, w której „odbywa się” Wszechświat, jest jedna.