Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Sztuka anamorficzna

Michał Budzyński i Maria Szostak

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
  • Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
  • Autor: Michał Budzyński
    Afiliacja: Student, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski.
    Autor: Maria Szostak
    Afiliacja: Studentka, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski.
obrazek

wikipedia

Ambasodorowie, Hans Holbein Młodszy (1498–1543)

wikipedia

Ambasodorowie, Hans Holbein Młodszy (1498–1543)

Obrazem anamorficznym nazywamy obraz powstały przez celowe zniekształcenie jego proporcji w taki sposób, aby jego poprawny odczyt był możliwy przez popatrzenie na niego z ustalonej perspektywy lub odbicie go w odpowiednim zwierciadle.

Takie specjalne lustro nazywane jest anamorfoskopem i może nim być np. lustrzany cylinder, lustrzany stożek czy też zwyczajna łyżka. Dziedzina, która zajmuje się tworzeniem takich obrazów, nazywa się sztuką anamorficzną. Termin ten powszechnie nie jest znany, lecz to, co się kryje pod jego nazwą, obserwujemy praktycznie na co dzień. Współczesne anamorfozy są często atrakcjami turystycznymi, ale mają też charakter ozdobny, a przede wszystkim praktyczny.

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Obrazy anamorficzne można zobaczyć w wielu miejscach. Aby się o tym przekonać, wystarczy przyjrzeć się chociażby poziomym znakom drogowym namalowanym na ulicach. Nietrudno zauważyć, że większość z nich jest nieproporcjonalnie rozciągnięta lub pogrubiona. Zabieg ten jest celowo stosowany przez projektantów, aby kierowcy jadący samochodem widzieli znaki we właściwych proporcjach. Obok przedstawiony został znak P-8c, czyli strzałka kierunkowa do skrętu w lewo.

W wielu miastach na świecie, np. Paryżu, Berlinie, Dun Laoghaire, można podziwiać wykorzystujące anamorfozę niesamowite malowidła na chodnikach, budynkach. Budzą one ogromne zainteresowanie wśród przechodniów.

Właściwości obrazu anamorficznego wykorzystywane są także w kinematografii, przy kręceniu filmów panoramicznych oraz nagrywaniu DVD. Podczas filmowania używane są kamery ze specjalnym anamorficznym obiektywem, który powoduje poziome „ściśnięcie” obrazu (około dwukrotne), a następnie w kinie do projektora zakładana jest odpowiednia anamorficzna soczewka, która rozciąga wyświetlany obraz. Dzięki takiej metodzie wykorzystywana jest cała dostępna powierzchnia taśmy filmowej, a w konsekwencji zapewniona jest największa możliwa rozdzielczość.

Pomysł ten przeniesiony został również na DVD z pewną różnicą – tutaj rolę obiektywu anamorficznego pełni elektronika odtwarzacza DVD. W tym przypadku rejestrowany obraz jest kompresowany do proporcji  math Jeśli odbiornik telewizyjny wyposażony jest w odpowiednią opcję, obraz jest dekompresowany i transformowany do formatu  math W przeciwnym przypadku następuje redukcja liczby linii obrazu poprzez zmniejszenie jego wysokości oraz dodanie u góry i z dołu czarnych pasów na wyświetlanym obrazie.

obrazek

Rys. 2 Przykładowa siatka dla lustrzanego cylindra.

Rys. 2 Przykładowa siatka dla lustrzanego cylindra.

W malarstwie najbardziej znanym przykładem zastosowania anamorfozy jest dzieło namalowane w XVI wieku przez Hansa Holbeina Młodszego, noszące tytuł Ambasadorowie. Poza przedstawionymi postaciami oraz licznymi detalami o bogatej symbolice uwagę skupia podłużny, ukośny kształt w dolnej części obrazu. Z pozoru nic nieprzypominająca smuga okazuje się ludzką czaszką. Aby się o tym przekonać, wystarczy punkt obserwacji umieścić nad obrazem (pod kątem ok. math ) na drodze wiodącej w kierunku wyznaczonym przez tę deformację. Co ciekawe, Czytelnik może spróbować zobaczyć czaszkę na uwypukleniu łyżki.

Metoda, przy użyciu której wykonuje się tego rodzaju obrazy anamorficzne, jest, oczywiście, zwykłym rzutowaniem perspektywicznym, w związku z czym do poprawnego odczytania nie trzeba dysponować żadnym specjalnym zwierciadłem.

Sytuacja jednak znacznie się komplikuje, gdy obraz anamorficzny chcemy uzyskać przez odbicie w lustrzanym cylindrze. Na przestrzeni wieków ludzie próbowali w różny sposób radzić sobie z tym problemem. Za każdym razem myślą przewodnią było stworzenie odpowiedniej siatki kołowej (Rys. 2).

obrazek

Rys. 3 Schemat odbicia tworzącej walca, górna część: rzut z boku, dolna: rzut z góry.

Rys. 3 Schemat odbicia tworzącej walca, górna część: rzut z boku, dolna: rzut z góry.

Idea ta polegała na tym, aby najpierw podzielić dany obraz w szachownicę, a następnie w pewien intuicyjny sposób narysować obraz anamorficzny zawartości oczek takiej siatki. Dzięki takiemu zabiegowi problem redukował się do malowania oddzielnie małych fragmentów anamorficznych w każdym polu. Przez długi czas nie umiano jednak wyznaczyć dokładnego obrazu anamorficznego wybranego punktu, a w konsekwencji również precyzyjnej siatki kołowej. Z czasem jednak udało się znaleźć rozwiązanie tego problemu.

Zakładamy, że obserwator (oko) jest dostatecznie daleko od lustrzanego cylindra, a obraz anamorficzny jest wyznaczony przez promienie równoległe do danego wektora math nie zaś przez jeden środek rzutów. Znalezienie siatki kołowej sprowadza się do wyznaczenia obrazu anamorficznego dwóch szczególnych krzywych leżących na walcu – tworzącej walca oraz okręgu leżącego w jego przekroju poprzecznym. Najpierw znajdziemy obraz tworzącej walca. Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku 3. Niech wektor math oznacza kierunek rzutowania, natomiast math tworzącą walca. Na początku wyznaczymy obraz dowolnego punktu math  rozwiązując przy okazji podstawowy problem, z którym dawniej nie mogli uporać się malarze. W tym celu poprowadźmy prostą math równoległą do kierunku rzutowania, przechodzącą przez punkt math  Korzystając z górnej części rysunku 3, przedstawiającej rzut walca z boku, wyznaczamy punkt math będący punktem przecięcia prostej math  oraz płaszczyzny rzutowania. Przez math  oznaczmy szukany obraz anamorficzny punktu math 

obrazek

Rys. 4 Schemat odbicia okręgu leżącego w przekroju poprzecznym walca, górna część: rzut z boku, dolna: rzut z góry.

Rys. 4 Schemat odbicia okręgu leżącego w przekroju poprzecznym walca, górna część: rzut z boku, dolna: rzut z góry.

Spójrzmy teraz na dolną część rysunku 3 przedstawiającą rzut walca z góry. Zauważmy, że w rzucie prostokątnym mamy równość odcinków math Oznaczmy teraz przez math  prostą prostopadłą do powierzchni walca przechodzącą przez punkt math  Zgodnie z prawem fizycznym mówiącym, że kąt padania jest równy kątowi odbicia, mamy równość kątów: math  Ponadto z równości kątów wierzchołkowych wynika, że math  W związku z tym również kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego math  mają tę samą miarę. Z tego z kolei wynika równoległość prostych math i math Obierając inny punkt na prostej math  – oznaczmy go math – i postępując analogicznie, otrzymamy punkty math i math przy czym (wobec tego, że prosta math będzie ta sama) trójkąty math i math  będą podobne. Zatem obrazem anamorficznym tworzącej math będzie półprosta math  o wierzchołku w punkcie math Zastanówmy się teraz, jaki będzie obraz anamorficzny okręgu math wyznaczonego przez przekrój walca płaszczyzną math Przyjmijmy, że promień walca jest równy math natomiast punkt math  należy jednocześnie do osi walca i płaszczyzny math Wówczas math  jest środkiem okręgu math a math jego promieniem. Niech math  będzie dowolnym punktem okręgu math Poprowadźmy (Rys. 4) dwie proste równoległe do kierunku rzutowania – math oraz math – przechodzące odpowiednio przez punkty math  oraz math  Oznaczmy przez math oraz math  punkty przecięcia tych prostych z płaszczyzną rzutowania, natomiast przez math  szukany obraz anamorficzny punktu math  W obrazie rzutu prostopadłego zachodzi, oczywiście, równość odcinków math  Dodatkowo, podobnie jak w poprzednim przypadku, korzystając z prawa odbicia, otrzymujemy równość kątów math  i math  która pociąga za sobą następującą równość:

display-math

Zatem punkty math   math  i math  są współliniowe. Rozważmy teraz okrąg o środku math  przechodzący przez math  Oznaczmy przez math  punkt przecięcia prostej math z okręgiem math Wówczas czworokąt math  jest równoległobokiem o bokach równych co do długości promieniom okręgów math oraz math Z przeprowadzonej analizy wynika, że obraz anamorficzny punktu math  leży na prostej przechodzącej przez punkty math  oraz math  a ponadto znajduje się w odległości math od drugiego punktu przecięcia tej prostej z okręgiem math W celu wyznaczenia obrazu anamorficznego okręgu math wystarczy zatem poprowadzić półproste z punktu math  a następnie wyznaczyć na nich punkty odległe o math od punktów ich przecięcia z okręgiem math Krzywa, jaką otrzymamy w wyniku takiego procesu, nosi nazwę ślimaka Pascala.

Jak się zatem okazuje, krzywa będąca obrazem anamorficznym okręgu leżącego w przekroju poprzecznym walca nie jest łatwa do określenia na pierwszy rzut oka. Nie ma się zatem co dziwić malarzom, którzy przez długi czas mieli problemy z wyznaczeniem dokładnej siatki kołowej. Z czasem udało się również zbudować urządzenie mechaniczne (przypominające swym wyglądem wielonogi cyrkiel) służące do wykreślania tego typu siatek, które jednak w dobie grafiki komputerowej chyba znacznie traci na wartości. W szczególności dostępne są darmowe programy generujące obrazy anamorficzne w przekształceniu walcowym dowolnego zdjęcia. Przykładem takiego programu jest Anamorph Me!. Wiele niezwykłych obrazów grafiki anamorficznej Czytelnik może znaleźć bez trudu w Internecie pod hasłem anamorphic art.