Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Konkurs prac uczniowskich

Japońska geometria świątynna

Anna Dymek

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: maj 2012
  • Publikacja elektroniczna: 28 kwietnia 2012
  • Wersja do druku [application/pdf]: (176 KB)
  • Artykuł jest skrótem pracy uczniowskiej nagrodzonej srebrnym medalem w XXXIII Konkursie Uczniowskich Prac z Matematyki w 2011 roku (Łódź).

Połączenie matematyki z religią może wydawać się nam, Europejczykom, dość zaskakujące. W Japonii jednak przez bardzo długi czas nie było niczym niezwykłym. Zjawisko to zostało zapoczątkowane w XVII wieku, kiedy władcy tego kraju podjęli decyzję o zamknięciu portów i odcięciu Japonii od reszty świata, szczególnie od Europy Zachodniej, a trwało do XIX wieku.

W tym czasie w Kraju Kwitnącej Wiśni nastąpił znaczny rozwój kultury, sztuki i nauki – także matematyki. Do dziś zachowało się wiele eksponatów pochodzących ze świątyń Shinto, obowiązującej wówczas religii. Są to drewniane tabliczki z kolorowymi rysunkami, przedstawiającymi ułożone na różne sposoby figury geometryczne. Szczególnie wiele jest tam okręgów stycznych do różnych figur, często do innych okręgów. Te obrazki to sangaku – w dosłownym tłumaczeniu „matematyczne tabliczki”.

Sangaku to w istocie zadania z geometrii euklidesowej. Część z nich nie ma nawet polecenia – odgadnięcie go jest częścią zagadki. Inne jednak opisano w Kanbun, czyli piśmie używającym ideogramów chińskich, a czytanym po japońsku. Kanbun miał podobną rangę jak łacina na Zachodzie, był językiem ludzi mających wyższe wykształcenie. Stąd wniosek, że tworzyli i rozwiązywali te sangaku głównie obywatele z klasy samurajów. Cele tworzenia sangaku były dwojakie: wysiłek włożony w rozwiązanie ofiarowywano opiekuńczym duchom, a wisząca w świątyni tabliczka stawała się wyzwaniem dla innych.

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Prawdopodobnie najbardziej znanym na Zachodzie sangaku pozostaje tzw. japońskie twierdzenie o wielokącie wpisanym w okrąg, występujące nawet pod nazwą „sangaku” w Kąciku olimpijskim (zob. [1]).

Sangaku 1. Suma promieni okręgów wpisanych we wszystkie trójkąty pewnej triangulacji wielokąta wpisanego w okrąg jest stała dla danego wielokąta i niezależna od triangulacji (Rys. 1).

Dowód tego twierdzenia także znajduje się w Kąciku olimpijskim, nie będę go więc tu przytaczać.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Jedno sangaku pojawiło się nawet na Asian Pacific Mathematics Olympiad w 1996 r. Znane jest ono jako japońskie twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg.

Sangaku 2. Czworokąt math  jest wpisany w okrąg. Wówczas środki math   math   math  math  okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty math   math   math   math  tworzą prostokąt (Rys. 2).

Przy dowodzie tego twierdzenia najpierw wykazujemy, że na czwórkach punktów złożonych z dwóch środków okręgów wpisanych i dwóch odpowiednio do nich dobranych wierzchołków czworokąta (np. na czwórce math   math   math   math) można opisać okrąg. Następnie bierzemy dwa takie okręgi (np. opisane na punktach math   math  math   math  oraz math   math   math   math ) i wykazujemy, że odpowiedni kąt (w naszym przykładzie kąt math ) jest kątem prostym. Całość dowodu to proste rachunki na kątach w okręgu, które pozostawiam Czytelnikowi do sprawdzenia.

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

obrazek

Rys. 4

Rys. 4

obrazek

Rys. 5

Rys. 5

Aby ukazać specyfikę zadań sangaku, przedstawię tu rozwiązanie jednego z nich w całości.

Sangaku 3. Dane są dwa trójkąty równoboczne wpisane w kwadrat oraz dwa okręgi wpisane w wybrane z powstałych trójkątów, jak pokazuje rysunek 3. Należy znaleźć zależność między promieniami tych okręgów.

Przyjmijmy oznaczenia wierzchołków i punktów przecięcia odcinków jak na rysunku 4. Weźmy ponadto punkty math   math  math  i math będące rzutami prostokątnymi, odpowiednio, punktu math  na math  math  na math  i math  oraz math  na math i oznaczmy znane kąty. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że długości boków kwadratu są równe math czyli math Wtedy wysokość math  trójkąta równobocznego math  ma długość math a zatem math Z podobieństwa trójkątów math  oraz math  mamy math  stąd math

Obliczymy teraz długości promieni zaznaczonych okręgów. Będziemy korzystać ze wzoru math gdzie math  math i math to odpowiednio pole trójkąta, jego obwód i promień okręgu wpisanego. Aby uprościć te obliczenia, wykonamy je dla okręgów wpisanych w trójkąty podobne do math oraz math  Rozważmy trójkąty math  oraz math  takie że math  oraz wysokość math  mają długość 1, jak na rysunku 5. Wtedy promień math  okręgu wpisanego w trójkąt math  ma długość

display-math

Promień math okręgu wpisanego w trójkąt math ma się do math  tak, jak math do math a ponieważ

display-math

więc

display-math

Analogicznie obliczamy

display-math

Po wykonaniu kilku przekształceń dochodzimy do wniosku, że math

Jest to jedno z bardziej typowych sangaku. Jak widać, rozwiązanie zawiera parę pomysłów i raczej żmudne obliczenia, ale nie korzysta z wyszukanych metod i nie wymaga niczego więcej niż podstawowa wiedza z zakresu planimetrii.

Delcie 9/2011 w artykule Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej można przeczytać o twierdzeniu Caseya. Przypomnę w tym miejscu jego uproszczoną wersję, gdyż posłuży nam ona do rozwiązania następnego sangaku.

Twierdzenie (Twierdzenie Caseya). Jeśli okręgi math   math   math   math  są styczne do okręgu math w punktach math   math   math  i math (wszystkie wewnętrznie lub wszystkie zewnętrznie) oraz czworokąt math wpisany w okrąg math  jest wypukły, to spełniona jest równość:

display-math

gdzie math  to długość odcinka między punktami styczności okręgów math  i math  do ich wspólnej zewnętrznej stycznej.

obrazek

Rys. 6

Rys. 6

Sangaku 4. Wewnątrz kwadratu o boku długości math znajduje się okrąg math  Okrąg ten nie ma punktów wspólnych z brzegiem kwadratu. Cztery okręgi math  math   math   math  o różnych promieniach są styczne do okręgu math  oraz każdy z nich jest styczny do dwóch boków kwadratu (Rys. 6). Wyznacz długość boku kwadratu w zależności od promieni okręgów math   math   math   math

Zadanie to najłatwiej rozwiązać, zapisując równość wynikającą z twierdzenia Caseya. Długości interesujących nas odcinków można wyznaczyć, używając twierdzenia Pitagorasa i odejmując długości odpowiednich promieni od długości boku kwadratu. W ten sposób otrzymujemy równanie

(a− r1− r2)(a− r3− r4)+ (a − r2− r3)(a− r1− r4) =
         √ -------------2---------2- √ -------------2----------2-
       =   2⋅(a − r1−r3) − (r3− r1)  ⋅  2⋅(a − r2− r4)  −(r2− r4) .
(1)
Teraz wyprowadzenie wzoru na math pozostaje jedynie kwestią sprawności rachunkowej.
obrazek

Rys. 7

Rys. 7

Na koniec sangaku dość nietypowe, bowiem niezawierające ani jednego okręgu. Czytelnik Wnikliwy z pewnością zechce je rozwiązać w ramach rozwijania znajomości z japońskimi zadaniami geometrycznymi.

Sangaku 5. Dane są cztery kwadraty math   math   math   math  ułożone jak na rysunku 7. Jaka jest zależność między polami kwadratów math  oraz math  jeśli punkty math   math i math  są współliniowe?

Podpowiedź: można wpisać kwadraty, do których należą wierzchołki math   math  math  w kwadraty o podstawach zawierających się w prostej math