Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Drobiazgi

Krótki dowód twierdzenia Routha

Waldemar Pompe

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: sierpień 2016
  • Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016
  • Wersja do druku [application/pdf]: (57 KB)

Niech |ABC będzie dowolnym trójkątem, a P | ,Q, punktami leżącymi odpowiednio na bokach BC, (Rys. 1). Przyjmijmy, że =BQ∩CDR, E = CR oraz niech

BP- = p, CQ-- = q, AR- = r. P C QA RB

Oznaczając przez [ℱ] pole figury |ℱ, mamy następujący wzór

 2 EF] [D-----= ------------(pqr-−1)------------, [ABC] (1 +p + pq)(1 +q + qr)(1+ r+ rp)

znany pod nazwą twierdzenia Routha.

Dowody tego wzoru, które można znaleźć w dostępnej literaturze, używają na ogół rachunku wektorowego lub geometrii analitycznej. Podamy tutaj krótki geometryczny dowód tego twierdzenia.

Poprowadźmy przez punkt |C prostą l | równoległą do prostej |AB. Niech ponadto =AP∩l,Y=BQ∩l, |X a także |S = CF (Rys. 2). Korzystając z twierdzenia Talesa, uzyskujemy

YF 1- P-C CQ-- CX-- CY-- X--- X--- CF- p +q = BP + QA= AB+ AB= AB= FA= FS . (*)

Wobec tego

[ABC]-- CS- CF- 1- 1+-p-+-pq [ABF]= FS = 1+ FS = 1+ p +q = p .

Analogicznie otrzymujemy

 [ABC]-- 1+-q-+qr- [ABC]-- 1-+r-+-rp ] [BCD = q oraz [CAE]= r .

Stąd ostatecznie obliczamy:

pict

co kończy dowód.

Uwaga. Udowodniona tożsamość (∗ ) nosi nazwę twierdzenia van Aubela.