Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Drobiazgi

Polecamy bardzo trudne zadanie

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: sierpień 2016
  • Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2016

O zadaniu 16. z książki 100 zadań Steinhausa.

W znakomitych 100 zadaniach Steinhausa jako zadanie szesnaste znajdujemy:

Zadanie. Mamy dowolny trójkąt. Możemy go oczywiście przeciąć linią prostą tak, żeby przepołowić jego obwód. Możemy nawet z góry przypisać kierunek linii przecinającej. Gdy zrobimy to dwa razy, używając dwu różnych kierunków, linie proste przetną się w pewnym punkcie |Q. Wtedy przez punkt Q | wiodą dwie linie proste przepoławiające obwód. Czy istnieje punkt, przez który wiodą trzy takie linie? Jeśli tak, to jak go znaleźć?

Odpowiedź jest zaskakująca: przez każdy punkt, przez który przechodzą dwie proste połowiące obwód, przechodzi też trzecia mająca tę własność.

A trudność w znalezieniu odpowiedzi leży w tym, że trzeba jakoś scharakteryzować możliwe położenia punktu Q, | o którym jest mowa w zadaniu - okazuje się, że są to punkty trójkąta krzywoliniowego zawierającego w brzegu łuki trzech paraboli stycznych do dwóch spośród prostych zawierających boki trójkąta.

Ciekawe jest to, że wynik jest mocniejszy: przez każdy punkt trójkąta przechodzi albo dokładnie jedna, albo dokładnie trzy proste połowiące obwód; to samo dotyczy czworokąta niebędącego równoległobokiem (a jak jest dla niego?).

Nie wątpię, że Czytelnik Ambitny podejmie to wyzwanie.