Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O własnościach prostej Simsona

Dominik Burek i Tomasz Cieśla

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: listopad 2016
  • Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2016
  • Autor: Dominik Burek
    Afiliacja: student, Instytut Matematyki, Uniwersytet Jagielloński
    Autor: Tomasz Cieśla
    Afiliacja: student, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
  • Wersja do druku [application/pdf]: (2417 KB)

W niniejszym artykule przybliżymy własności jednej z najsłynniejszych prostych w geometrii euklidesowej - prostej Simsona. Jej odkrycie przypisywane jest szkockiemu matematykowi, Robertowi Simsonowi, choć w żadnej jego pracy nie znajdujemy wzmianki o niej.

Twierdzenie 1 (Simson). Dany jest trójkąt |ABC wpisany w okrąg ω oraz punkt P | leżący na tym okręgu. Rzuty prostokątne punktu P | na proste BC, oznaczmy odpowiednio przez ,E,F. |D Wówczas punkty ,E,F D leżą na jednej prostej. Prosta ta nazywana jest prostą Simsona punktu P względem trójkąta ABC .

obrazek
obrazek

Dowód. Zauważmy, że trójkąty prostokątne PAF | i P | CD są podobne. Rzeczywiście, wynika to z równości ?PAF która jest konsekwencją tego, że punkty |A, leżą na jednym okręgu. Jest też jasne, że trójkąty te są tak samo zorientowane. Obierzmy na prostej AC taki punkt , X | że trójkąt E PX jest podobny do trójkąta |PAF i tak samo zorientowany. Przekształcenie będące złożeniem obrotu o kąt APF | z jednokładnością o skali  PF |PA przeprowadza punkty ,C A, odpowiednio na punkty .F, | E,D Ponieważ obroty i jednokładności zachowują współliniowość punktów, więc ze współliniowości punktów ,C A, wynika współliniowość punktów .F, | E,D


Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeśli punkty ,E,F |D są współliniowe, to punkt P leży na okręgu |ω Dowód tego faktu jest dość podobny, nietrudno bowiem sprawdzić, że przy takich założeniach obrót o kąt FPA z jednokładnością o skali PA |-- PF przeprowadzi D na C, skąd wnioskujemy podobieństwo trójkątów PAF i P | CD oraz tezę twierdzenia odwrotnego.

Jedno z ciekawych uogólnień prostej Simsona polega na rzutowaniu punktu |P pod dowolnym (ustalonym) kątem. Mówi o tym następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2. Dany jest trójkąt ABC wpisany w okrąg ω i punkt |P leżący na nim. Niech ,E,F |D będą takimi punktami odpowiednio na prostych BC, że zachodzą równości kątów skierowanych ,BC)=?(PE,CA) ?(PD Wówczas punkty ,E,F D leżą na jednej prostej. Twierdzenie odwrotne również jest prawdziwe.

Powyższe twierdzenie można udowodnić, wykorzystując analogiczny argument jak w twierdzeniu Simsona. Uzupełnienie szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi.

Inne uogólnienie twierdzenia Simsona można otrzymać, badając pola trójkątów o wierzchołkach będących rzutami dowolnego punktu płaszczyzny. Francuz Joseph Gergonne odkrył i jako pierwszy udowodnił poniższy fakt.

Twierdzenie 3. Dane są trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku |O oraz liczba rzeczywista . λ Dla dowolnego punktu P oznaczmy jego rzuty na proste BC, przez ,E,F. D Zbiór punktów P, dla których zorientowane pole trójkąta EF D wynosi λ , jest albo zbiorem pustym, albo jednoelementowym zbiorem zawierającym punkt O, albo pewnym okręgiem o środku O.

obrazek

Dowód powyższego twierdzenia pominiemy, natomiast wywnioskujemy z niego twierdzenie Simsona. Przyjmując = λ 0, otrzymujemy, że wszystkie punkty, których rzuty na proste |BC, są współliniowe, tworzą pewien okrąg. Nietrudno przekonać się, że rzuty punktów A, mają tę własność. Wobec tego okręgiem tym musi być okrąg opisany na trójkącie |ABC.

obrazek

Zanim przejdziemy do próby pokazania ciekawych zastosowań prostej Simsona, udowodnimy kilka interesujących faktów z nią związanych. Zaczniemy od niezwykle użytecznego faktu:

Fakt 1. Dany jest trójkąt ABC | wpisany w okrąg ω oraz cięciwa P Q prostopadła do prostej BC. | Wówczas prosta Simsona punktu |P względem trójkąta ABC jest równoległa do prostej AQ. |

Dowód. Oznaczmy rzuty punktu | P na proste |BC i CA | odpowiednio przez D | i E. Punkty |D i |E leżą na okręgu o średnicy PC. Korzystając z tego, że kąty oparte na tym samym łuku są równe, otrzymujemy E=?PCE=?PQA, ?PD | skąd wynika równoległość prostych | AQ i  | E. D


Może się, oczywiście, zdarzyć, że nie istnieje cięciwa przechodząca przez |P, która jest prostopadła do BC. Dzieje się tak dokładnie wtedy, gdy P | jest jednym z końców średnicy równoległej do BC. | W takim przypadku należy przyjąć P = Q i fakt pozostaje w mocy. Uzupełnienie szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi.

Na szczególną uwagę zasługuje piękna zależność znaleziona przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Steinera, która wiąże prostą Simsona z ortocentrum trójkąta.

Twierdzenie 4 (Steiner). Punkt P | leży na okręgu |ω opisanym na trójkącie ABC. Punkty ,Y X | i Z są obrazami punktu P w symetrii względem boków odpowiednio BC, i AB. Wówczas punkty ,YX i Z leżą na jednej prostej, która zawiera ortocentrum trójkąta |ABC. Prostą tę zwykło się nazywać prostą Steinera punktu P | względem trójkąta ABC.

obrazek

Dowód. Niech H | będzie ortocentrum trójkąta ABC | i niech |Q będzie takim punktem na |ω że PQ Oznaczmy odbicie |H względem BC | przez . D | Wówczas

pict

zatem D leży na ω Trapez XP HD jest równoramienny (jego osią symetrii jest prosta BC ), wobec tego H=?DPX. ?P | X Z drugiej strony trapez QP |AD jest wpisany w okrąg, więc również jest równoramienny. Stąd PQ=?PQ?AD. Z powyższych dwóch równości wynika, że AQH.X Stąd i z poprzedniego faktu wnioskujemy, że prosta HX | jest równoległa do prostej Simsona punktu P . Innymi słowy, punkt X leży na prostej ℓ przechodzącej przez |H i równoległej do prostej Simsona punktu |P. Dokładnie ten sam argument pokazuje, że punkty Y ,Z również leżą na ℓ.


Podobnie jak poprzednio, może się zdarzyć, że punkt Q nie będzie istniał. Twierdzenie Steinera pozostaje prawdziwe również w tym przypadku. Uzupełnienie szczegółów ponownie pozostawiamy Czytelnikowi.

Twierdzenie Steinera można przeformułować tak: jednokładność o środku w punkcie P i skali równej 2 przeprowadza prostą Simsona punktu |P na prostą zawierającą ortocentrum trójkąta | ABC. Wypływa stąd wniosek: prosta Simsona punktu P leżącego na okręgu opisanym na trójkącie ABC połowi odcinek PH, gdzie H | jest ortocentrum trójkąta ABC. | Ponadto środek odcinka PH leży na okręgu dziewięciu punktów trójkąta | ABC. Aby to uzasadnić, wystarczy zauważyć, że skoro odbicia |H względem boków trójkąta ABC | leżą na okręgu opisanym, to okrąg dziewięciu punktów jest jednokładny względem H | w skali 12 |- z okręgiem opisanym.

Można również badać relację między dwiema wybranymi prostymi Simsona.

Twierdzenie 5. Punkty P | i |Q leżą na okręgu |ω opisanym na trójkącie ABC. Wówczas miara kąta między prostymi Simsona punktów | P i | Q jest równa mierze kąta wpisanego opartego na łuku P Q.

obrazek

Dowód. Obierzmy punkty R | i S na ω tak, by cięciwy PR, QS były prostopadłe do prostej BC. Wówczas proste |AR, są równoległe do prostych Simsona punktów |P,Q. Wobec tego interesujący nas kąt równy jest kątowi między prostymi AR, Ten kąt jest oparty na łuku |RS, którego długość jest równa długości łuku |PQ.


Tutaj również może zdarzyć się, że nie istnieją cięciwy PR, | QS prostopadłe do prostej BC - uzupełnienie dowodu w tym przypadku pozostawiamy Czytelnikowi.

Z powyższych faktów w prosty sposób można wysnuć następujące wnioski:

  • Trójkąt  | YZ X jest wpisany w okrąg opisany na trójkącie ABC. Wówczas proste Simsona punktów ,Y X i Z względem trójkąta |ABC ograniczają trójkąt podobny do trójkąta ABC.
  • Proste Simsona dwóch punktów antypodycznych przecinają się pod kątem prostym.
  • W trójkącie | ABC zbiór punktów przecięcia się prostych Simsona dwóch punktów antypodycznych jest jego okręgiem dziewięciu punktów.

Nadszedł czas na pokazanie zastosowań prostej Simsona w zadaniach olimpijskich. Część poniższych problemów pochodzi z olimpiad matematycznych o zasięgu międzynarodowym.

Rozważane zadania szybko uległy twierdzeniu Steinera. Tak dzieje się z wieloma problemami dotyczącymi przynależności ortocentrum trójkąta do jakiejś prostej. Dla Czytelników Wnikliwych pozostawiamy kilka zadań, które pomogą zgłębić i odkryć jeszcze więcej własności prostej Simsona.