Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Analiza Starożytnych i Cyprian Norwid

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: marzec 2017
  • Publikacja elektroniczna: 1 marca 2017
  • Wersja do druku [application/pdf]: (93 KB)

Podwojenie sześcianu to zadanie: skonstruuj odcinek  3√-- | 2 razy dłuższy od danego...

obrazek

Rys. 1 |AB-AC --- AD- AC AD AE

Rys. 1  AB- AC- AD- |AC AD AE

W języku arytmetyki będzie to brzmiało: znajdź dwie średnie proporcjonalne dla a i 2a. Dwie średnie proporcjonalne dla |a i b to takie liczby |x i y, że

a x y --= --= --. x y b

Przykład geometrycznej realizacji jest na rysunku 1

Podwojenie sześcianu byłoby zrealizowane, gdybyśmy umieli narysować taką konstrukcję dla b = 2a. Wtedy bowiem

 2 4 a- = x-= y-, czyli (y = x-iy2 = 2ax) , czyli x-= 2ax, czyli x3 = 2a3. x y 2a a a2

Archytas z Tarentu postanowił tę konstrukcję zrealizować, posługując się metodą nazwaną później analizą Starożytnych. Polega ona na przyjęciu założenia, że mamy żądany obiekt i badaniu jego jak najliczniejszych własności w nadziei na to, że może któreś ze znalezionych pozwolą ten obiekt skonstruować.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Pomysł Archytasa polegał na wskazaniu żądanych punktów w przecięciu trzech znanych powierzchni, czyli nie na płaszczyźnie, lecz w przestrzeni. W tym celu wyposażył rysunek 1 wykonany dla |AB w półokrąg o średnicy AB, czyli o promieniu a. | Na płaszczyźnie narysował okrąg |o o promieniu |a i na nim, prostopadle do płaszczyzny umieścił figurę z rysunku 1 w taki sposób, by punkty A i D | znajdowały się na |o. Oznaczmy jeszcze przez Z przeciwny do A koniec średnicy |o. Następnie z E opuśćmy wysokość na AB otrzymując F | i przez ten punkt poprowadźmy prostopadłą do AZ - jej przecięcia z o | to |K i L. Zauważmy, że

EF2 = AF

Pierwsza równość wynika z tego, że w trójkącie prostokątnym |AED wysokość jest średnią geometryczną odcinków, na jakie dzieli przyprostokątną. Druga równość wynika z podobieństwa trójkątów |AFK i LFD. | Nieoczekiwany wniosek to fakt, że trójkąt KEL | okazuje się prostokątny (jako, że jego wysokość jest średnią geometryczną odcinków na jakie dzieli KL| ).

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Wyobraźmy sobie teraz okrąg opisany na |KEL, którego średnicą jest |KL. Leży on w płaszczyźnie prostopadłej do AZ. Zatem wszystkie z punktów K,L, E,C leżą na powierzchni stożka o osi AZ. Kąt pomiędzy osią a tworzącymi stożka to  ○ 60 , bo AK (patrz rysunek 3).

obrazek

Rys. 4

Rys. 4

Koniec rozumowania Archytasa jest taki. Punkt C można zlokalizować, zauważając, że poza tym, iż leży on na stożku, leży on także na walcu o tworzących przecinających okrąg o i prostopadłych do jego płaszczyzny oraz na "torusie bez dziurki" - tę ostatnią powierzchnię otrzymamy, uzupełniając półokrąg opisany na ABC do okręgu i obracając go dokoła tej tworzącej walca, która przechodzi przez A.

A lokalizacja C pozwala na skonstruowanie trójkąta ABC. Wtedy |AD

Zapewne wielu zauważy, że to jakby zupełnie coś innego, niż to, co chcemy uznawać za konstrukcję. Wynika z tego pytanie, jak to się stało, że dziś dla nas konstrukcja musi być wykonywana na płaszczyźnie i to wyłącznie cyrklem i linijką. Czyżby znalazł się dyktator, który to zarządził? Z przykrością należy odpowiedzieć: TAK.

Po upowszechnieniu konstrukcji Archytasa z filipiką przeciw niemu (no, może nie z filipiką, bo mowy Demostenesa miały miejsce później) wystąpił Platon.

Stwierdził, że używanie do konstrukcji struktur przestrzennych, a zwłaszcza powstających mechanicznie, urąga matematyce, która na czystej kontemplacji polegać powinna (to wziął dwa tysiąclecia później pod uwagę Nobel i tym uzasadnił nieprzyznanie matematykom nagrody). A czysta kontemplacja powinna operować jedynie tak ulotnym i niepraktycznym obiektem, jak - nieistniejąca przecież realnie - płaszczyzna i manipulować wyłącznie liniami doskonałymi, a więc w każdym punkcie jednakimi, jakimi na płaszczyźnie są jedynie proste i okręgi.

O dziwo, ta argumentacja okazała się przekonywająca i matematycy pokornie przyjęli dyktat Platona. Samo zaś rozważanie przeciwstawienia czystej kontemplacji, jaką powinna być nauka, ponurej praktyczności (jakby Elojów Morlokom) uznane zostało za niezbędny element wykształcenia kulturalnego człowieka i było nauczane aż do I wojny światowej nawet w gimnazjach klasycznych, gdzie matematyka była obecna tylko śladowo.

Dokumentem takich rozważań jest wiersz Cypriana Norwida poświęcony zadumie nad zdegradowaniem kontemplacji.

PLATO I ARCHITA

ARCHITA

Geometrycznej nieświadom nauki Widziałem prosty lud, kładący bruki, I, jako kamień jedna się z kamieniem, Baczyłem, stojąc pod filarów cieniem - Aż żal mi było bezwiedności gminu, Mimo że wieczną on jest wagączynu!... Więc - Geometrii myślane promienie (Rzeknę) gdy z głazem złączę i ożenię, Sferyczność w drzewie wykłuwszy toporem Siłami ramion pchnę brązowe walce, Promienne jeśli kołom natknę palce... To - któż wie...

PLATO

Boskie zmysłowiąc obrysy, Archito! - koturn rzucisz za kulisy - Języka lotność niebieskiego zgrubisz*, Więc Filozofię, Grecję może, zgubisz...

ARCHITA

O! Plato... padam przed prawdy bezkońcem, I nieraz, myśli z drzewa ciosząc, płaczę, Tak wielce wszystko przesiąkłe jest słońcem, Któremu nie ty, ni ja biegów znaczę; Dlatego świętych nie zniżę arkanów, Ani ojczyzny krągłą tarcz wyszczerbię, Owszem: z tych, które rażą cię dziś, planów, Z kres tych na Grecji idealnym herbie, Z liczebnych równań w sił zmienionych dźwignie (Lubo promienność uroku w nich stygnie), Któż wie? - powtarzam - czy lud w sobie drobny, Bezsilny ciałem - jak wyspa osobny, Sykulów mówię, na przykład, siedziba**, Tą siły ramion zmnożywszy nauką, Nie zdoła bronić się jak morska ryba?...

PLATO

Przyjdzie - i tobie dzień zwycięstwa - sztuko!...