Przeskocz do treści

Delta mi!

Kącik początkującego olimpijczyka

Twierdzenie o trójzębie

Bartłomiej Bzdęga

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: marzec 2019
  • Publikacja elektroniczna: 1 marca 2019
  • Wersja do druku [application/pdf]: (371 KB)
obrazek

Opiszmy okrąg o na trójkącie |ABC. Niech Sa | będzie środkiem łuku |BC niezawierającego punktu A, | zaś La | - środkiem drugiego łuku |BC. Odcinek LaSa | jest oczywiście średnicą okręgu o, na której leży symetralna odcinka BC. Łuki BS | a i CS są równej długości, więc kąty wpisane na nich oparte mają jednakową miarę, czyli prosta ASa jest dwusieczną kąta BAC. Jeżeli La | ≠A, to ?LaAS a więc prosta ALa jest dwusieczną kąta zewnętrznego A trójkąta ABC. |

Oznaczmy przez I środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz miary kątów wewnętrznych przy wierzchołkach |A, odpowiednio przez α,β ,γ. Wówczas  ?BS I = γ a oraz | ?IBS = α + β, a 2 2 więc  α β | ?BISa = 2 + 2 = IBSa , co daje równość  ISa = BSa = CSa znaną pod nazwą twierdzenie o trójliściu. Niech |Ia będzie środkiem okręgu dopisanego do trójkąta ABC, stycznego do odcinka BC. | Punkty | A, leżą na jednej prostej, a ponadto | ○ ?IBIa = 90 , więc | IIa jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie IBIa. To pozwala uzupełnić twierdzenie o trójliściu:

 IaSa = ISa = BSa = CSa

Nazywamy to twierdzeniem o trójzębie.