Przeskocz do treści

Delta mi!

Kącik początkującego olimpijczyka

Potęga punktu względem okręgu

Bartłomiej Bzdęga

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: listopad 2019
  • Publikacja elektroniczna: 31 października 2019
  • Wersja do druku [application/pdf]: (417 KB)
obrazek

Rozważmy okrąg ω = o(O, r) o środku O i promieniu r oraz ustalmy pewien punkt |P w odległości d od punktu O (na rysunku obok |d < r ). Niech AB będzie taką średnicą okręgu ω , by punkt P leżał na prostej AB. Przez punkt |P prowadzimy dowolną prostą, która przecina okrąg |ω w punktach X i Y . Z podobieństwa trójkątów |APY i XPB wynika, że

P X ⋅ PY = PA ⋅ PB = (r− d)(r + d) = r2− d2,

zatem wartość tego iloczynu nie zależy od wyboru prostej przechodzącej przez punkt P. Pozostawiamy Czytelnikowi wykazanie, że jeśli punkt |P leży na zewnątrz lub na okręgu ω , to  PX ⋅ PY = d2 − r2. Liczbę  2 2 |𝒫ω(P ) = OP −r nazywamy potęgą punktu P względem okręgu =oO,r|ω . Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeśli prosta |PT jest styczna do okręgu |ω w punkcie T , to 𝒫 ω(P) = PT 2.

Teraz rozważmy okręgi ω 1 = o(O1, r1) i ω 2 = o(O2, r2), dla których | O1O2 = D > 0. Niech P′ będzie rzutem prostokątnym punktu P na prostą |O O 1 2 oraz niech |a = O P ′ , 1 przy czym wartość |a bierzemy ze znakiem minus, jeśli punkt  ′ |P leży "na lewo" od |O1. Po prostych rachunkach otrzymamy

 2 2 2 𝒫 (P ) = 𝒫 (P ) a = r1-−r2-+D- . ω ω 2D 1 2
obrazek

To oznacza, że zbiór tych punktów, które mają jednakową potęgę względem okręgów ω 1 i ω 2, jest prostą prostopadłą do O1O2. Nazywamy ją osią potęgową okręgów 1 ω i 2 ω i będziemy oznaczać symbolem |ℓω . 1,ω 2 Zauważmy też, że jeśli okręgi przecinają się w dwóch punktach, to ich oś potęgowa przechodzi przez te dwa punkty.

Osie potęgowe są przydatne w dowodzeniu współliniowości punktów: jeśli |𝒫 (P ) = 𝒫 (P ), o1 o2 to punkt P leży na prostej |ℓ . o1,o2