Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading
  1. Stereometria Drobiazgi

    Dwie sfery w jednym miejscu

    W IV wieku przed naszą erą za sprawą Platona panowało powszechne przekonanie, że sfera niebieska - jako doskonała - dopuszcza jedynie doskonałe ruchy planet, jedynych ruchomych obiektów na niej. Ruchy doskonałe to ruchy jednostajne i odbywające się po doskonałych trajektoriach. Doskonała trajektoria to taka, która może ślizgać się po sobie - na sferze tę własność mają tylko okręgi. Powstawał więc problem, jak wytłumaczyć nieregularności ruchu planet na niebie, a w szczególności powstawanie pętli, o jakich jest mowa w artykule Tomasza Kwasta.

  2. Stereometria Drobiazgi

    Wielościan w zeszycie

    Prawie każdy wielościan ma talię (to wśród nich jest nawet częstsze niż u ludzi!), czyli pewien jego płaski przekrój ma obwód mniejszy od sąsiednich (dokładniej: niewielka zmiana płaszczyzny tnącej daje wielokąt o większym obwodzie - a bardziej po ludzku: nałożona w takim miejscu gumka recepturka nie zsunie się). Dla sześcianu taką talią jest jego przekrój będący sześciokątem foremnym (narysuj ją!).

  3. Stereometria

    Stożki i walce

    Od Archimedesa wiemy, że zdaniem Demokryta stożek stanowi trzecią część walca, ale pierwszy udowodnił to Eudoksos. Znamy ten rezultat z XII Księgi Elementów Euklidesa (Stwierdzenie 10)...

  4. Stereometria Deltoid

    Budowle z klocków

    Wiele zadań przestrzennych łatwiej rozwiązać, gdy najpierw zbada się analogiczny problem płaski. Taki dwuwymiarowy odpowiednik czasem sam się narzuca, a czasem jego sformułowanie wymaga pewnej pomysłowości. Poniżej prezentujemy przykłady zadań o przestrzennych klockach, na różne sposoby "spłaszczane".

  5. Stereometria

    Czy Ziemia jest płaska? A może jednak?

    W artykule Czy Ziemia jest płaska (Delta 4/2016) pokazaliśmy, że sfera (będąca uproszczonym modelem powierzchni Ziemi) nie jest płaska, to znaczy nie daje się podzielić na fragmenty, z których każdy byłby izometryczny z pewnym fragmentem płaszczyzny. Przypomnijmy, że ta cecha odróżnia sferę od powierzchni bocznych walca i stożka. Pójdźmy więc dalej - czy jest możliwa taka gładka deformacja sfery, aby uzyskać powierzchnię płaską?

  6. Stereometria Drobiazgi

    Brzydka prawda

    Wielościan wypukły, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, może mieć ściany trójkątne, czworokątne lub pięciokątne. Ostatnie dwa przypadki realizują się tylko w postaci sześcianu i dwunastościanu...

  7. Stereometria Nowości z przeszłości

    Jeszcze raz o wzorze Eulera, czyli zastosowanie stawów i grobli w stereometrii

    W 1752 roku znakomity matematyk szwajcarski Euler, podówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie, odkrył zadziwiający związek między liczbami |s;k;w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego |W: Związek ten jest obecnie nazywany wzorem Eulera dla wielościanów i zwykle zapisuje się go w postaci

    s − k + w = 2:

    Podamy elementarny i chyba nader zabawny dowód tego wzoru.

  8. Stereometria Deltoid

    w - k + s = 2

    Oznaczmy przez w ;k;s liczby odpowiednio wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu. W każdym wierzchołku schodzą się co najmniej trzy końce krawędzi i każda krawędź ma dwa końce, zatem |2k ⩾ 3w : Podobnie każda ściana ma co najmniej trzy boki, a każda krawędź należy do dwóch ścian, więc 2k ⩾ 3s: Ponadto jeśli wielościan jest wypukły, zachodzi wzór Eulera: w −k + s = 2:

  9. obrazek

    Gwoli precyzji ustalmy, że trzymając przed sobą zetknięte połówki przeciętej bryły obrotowej (prawą i lewą), obracamy prawą z nich ruchem do siebie.

    Gwoli precyzji ustalmy, że trzymając przed sobą zetknięte połówki przeciętej bryły obrotowej (prawą i lewą), obracamy prawą z nich ruchem do siebie.

    Stereometria Mała Delta

    Sferostożki więcej i bardziej

    Taka sobie niewinnie wyglądająca bryłka. Ot, powstała z obrotu kwadratu dookoła jego przekątnej, przecięcia tego, co powstało, na dwie identyczne części (wzdłuż płaszczyzny kwadratu), przekręceniu połowy o  ○ 90 i doklejeniu do drugiej części (czekającej w tym czasie w bezruchu). Szczęśliwa całość - sferostożek (ang. sphericon).

  10. obrazek

    Dwunastościan gwiaździsty mały

    Dwunastościan gwiaździsty mały

    Stereometria

    Wielościany gwiaździste

    Jeśli przy definiowaniu wielokąta zrezygnujemy z warunku, aby łamana tworząca go była zwyczajna, otrzymamy nową klasę wielokątów foremnych, tzw. gwiaździstych.

  11. obrazek

    Stereometria

    Wypełniane przestrzeni

    Problem wypełnienia przestrzeni bez luk jednakowymi wielościanami okazuje się wcale nie tak prosty, jak na pierwszy rzut oka można oczekiwać. Spośród pięciu wielościanów platońskich tylko jeden nadaje się do tego. Oczywiście, jest to sześcian...

  12. Stereometria

    Jakich wielościanów nie ma, a jakie są?

    Kubuś Fatalista, bohater książki Denisa Diderota, spotkał pewnego razu rozpaczliwie płaczące dziecko. Na pytanie, co mu się stało, odpowiedziało, że kazano mu powiedzieć A. Cóż w tym złego? - dopytywał się Kubuś. - Bo jak powiem A, to każą mi powiedzieć B - poskarżył się malec.

  13. Stereometria Deltoid

    Panaceum?

    W rozwiązaniach wielu zadań kluczowe jest rozłożenie danej bryły tak, by uzyskać jej siatkę. Jeśli z kolei chcemy zbudować model wielościanu, często rysujemy jego siatkę, wycinamy, składamy... Siatki to przydatne narzędzie, jednakże - jak to z narzędziami bywa - trzeba ostrożnie się nimi posługiwać. Proszę ocenić poprawność poniższych trzech stwierdzeń.

  14. obrazek

    Stereometria Co to jest?

    Sferostożki i inne cudaki

    Bryła to stworzenie, z którym większość z nas poznała się w szkole podstawowej i które było przez nas oswajane przez kolejne lata edukacji. Znamy bliżej różne rodziny brył, takie jak wielościany, graniastosłupy, bryły obrotowe, foremne, platońskie. Oczywiście, można produkować nowe stworzenia, łącząc czy tnąc "podstawowe" gatunki, a jedynym ograniczeniem jest nasza wyobraźnia.

  15. obrazek

    Katarzyna Wyrobek

    Gips

    Katarzyna Wyrobek

    Gips

    Stereometria

    Jak opisać kryształ?

    Kryształy to jedne z najbardziej osobliwych elementów świata przyrody. Materiały krystaliczne wykazują niemal niespotykaną naturalną tendencję do tworzenia wielościanów. Piętnastometrowe kryształy w Meksyku czy dwumilimetrowe kryształki soli w naszej kuchni - wszystkie swą szczególną postać zawdzięczają uporządkowanemu rozmieszczeniu atomów, jonów lub cząsteczek.

  16. Stereometria Deltoid

    A jednak istnieje!

    Niektóre wielościany są dość dziwne. Intuicja podpowiada, że nie powinny istnieć, a jednak istnieją. Czasem błędne przeczucia wynikają z nazbyt pochopnych uogólnień geometrii płaskiej na przestrzenną, czasem zaś z faktu, że świat wielościanów jest bogatszy, niż się na pierwszy rzut oka wydaje.

  17. Stereometria Drobiazgi

    Piłka w puszce

    Piłki tenisowe na ogół pakowane są w rurkę po kilka sztuk. Wyobraźmy sobie piłki tak cenne, że pakowane są każda oddzielnie. Takie opakowanie to z matematycznego punktu widzenia walec...