Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Ogródek Gardnera

Ile jest typów czworościanów?

Zdzisław Pogoda

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: styczeń 2011
  • Publikacja elektroniczna: 20-12-2010
  • Autor: Zdzisław Pogoda
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Uniwersytet Jagielloński

Dziwne pytanie, oczywiście nieskończenie wiele. Są bardziej spłaszczone, wydłużone, szpiczaste, są też prawidłowe, foremne...

Jeśli jednak pominiemy długości krawędzi, kąty płaskie i dwuścienne itp., zachowamy tylko ogólną strukturę, to widzimy, że jest tylko jeden typ czworościanu. Nie istnieje czworościan, który miałby ścianę nietrójkątną. W przypadku pięciościanów mamy dwa typy: typ ostrosłupa o podstawie czworokąta oraz typ graniastosłupa o podstawie trójkąta. Pierwszy ma jedną ścianę czworokątną i cztery trójkątne, a drugi trzy czworokątne i dwie trójkątne. Innych nie ma. Gdy zetniemy wierzchołek czworościanu, to dostaniemy pięciościan drugiego typu. Powołując się na Johna McClellana (artystę z Woodstock), Martin Gardner zadał pytanie: ile jest typów sześciościanów (w domyśle wypukłych)?

Należy uważać na przypadki wyglądające na pozór różnie, a jednak dające ten sam typ. Można pójść dalej i zapytać o liczbę typów siedmiościanów, ośmiościanów itd. Może jest jakiś ogólny schemat postępowania?

Gardner przytacza 7 różnych typów wypukłych sześciościanów, dodając, iż nie zna prostego dowodu, że nie ma innych. Informuje też, że istnieją 34 rodzaje wypukłych siedmiościanów, 257 ośmiościanów i 2606 dziewięciościanów. Natomiast niewypukłych sześciościanów mamy trzy typy, 26 siedmiościanów i 277 ośmiościanów.


Oto diagramy Schlegela wszystkich 4-, 5-, 6-, 7- i 8-ścianów wypukłych – tak widać wielościan wypukły przez jedną z jego ścian.