Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Mała Delta

O tym, czego nie ma

Wielościan o siedmiu krawędziach i jego znajomi

Paweł Strzelecki

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 1996
  • Publikacja elektroniczna: 20-03-2011
  • Autor: Paweł Strzelecki
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski

Dla każdej liczby naturalnej math można, oczywiście, narysować wielokąt, który ma math boków. A jak to będzie z wielościanami o zadanej z góry liczbie krawędzi?

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Po pierwsze, nie uda się nikomu skonstruować wielościanu o math krawędziach dla math ze zbioru math Wielościan bowiem musi mieć przynajmniej cztery wierzchołki (trzy to jeszcze za mało, bo trzy punkty zawsze leżą w jednej płaszczyźnie), a z każdego wierzchołka wychodzić muszą przynajmniej trzy krawędzie. Ponieważ każda krawędź łączy ze sobą dwa wierzchołki, to krawędzi musi być przynajmniej math Pięć albo mniej – to jeszcze za mało.

Wielościan o sześciu krawędziach, oczywiście, istnieje: to czworościan. Nietrudno także jest wskazać wielościany o math krawędziach dla math Będą to ostrosłupy o podstawie czworokąta, pięciokąta, sześciokąta, … (patrz Rys. 1 (lewa kolumna)).

Skonstruujemy teraz serię wielościanów o nieparzystej liczbie krawędzi równej odpowiednio 9, 11, 13, …. Wystarczy każdemu z ostrosłupów z rysunku 1 tak obciąć rożek przy podstawie, jak pokazuje to rysunek 2 (prawa kolumna). Przybędą wtedy trzy nowe krawędzie (jedna na każdej ścianie przy odcinanym rożku).

obrazek

Rys. 2 Gdy płaszczyznę cięcia prowadzimy równolegle do ustalonej krawędzi wielościanu i niedaleko od niej, to na przekroju otrzymujemy wielokąt, który ma przynajmniej dwa boki równoległe.

Rys. 2 Gdy płaszczyznę cięcia prowadzimy równolegle do ustalonej krawędzi wielościanu i niedaleko od niej, to na przekroju otrzymujemy wielokąt, który ma przynajmniej dwa boki równoległe.

Ile by się kto nie męczył, nie uda mu się do katalogu z rysunków 1 i 2 dołożyć wielościanu o siedmiu krawędziach. Gdyby bowiem taki wielościan istniał, to miałby przynajmniej pięć wierzchołków (wielościan o czterech wierzchołkach to czworościan, który ma sześć krawędzi). Z każdego wierzchołka wychodzą przynajmniej 3 krawędzie, każda łączy dwa wierzchołki, więc nasz wielościan miałby krawędzi przynajmniej math To sprzeczność, która dowodzi, że wielościanu o siedmiu krawędziach nie ma.

Rozumując tak samo można udowodnić, że nie ma wielościanu o nieparzystej liczbie ścian, z których każda jest trójkątem.

Nie ma także wielościanu wypukłego, w którym każda ściana byłaby wielokątem o innej liczbie boków. Gdyby bowiem istniał, to wybralibyśmy ścianę o największej liczbie boków, powiedzmy math Przylegałoby do niej math innych ścian, każda o innej liczbie boków, nie mniejszej niż 3 i nie większej niż math Takich ścian może być jednak co najwyżej math sprzeczność.

Na koniec udowodnimy, że nie ma wielościanu, którego każdy przekrój byłby trójkątem. Ustalmy dowolną krawędź wielościanu i tak poprowadźmy płaszczyznę przekroju, by była do tej krawędzi równoległa i w dodatku przecinała obie przylegające do niej ściany (Rys. 2). Na przekroju powstanie wielokąt o dwóch bokach równoległych – nie będzie to więc trójkąt.

Jeszcze i innych nieistniejących znajomych wielościanu o siedmiu krawędziach można wymyśleć wielu. Polecamy tę pouczającą zabawę.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24