Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Doświadczenia myślowe

O wieszaniu bombek na choince

Krzysztof Rudnik

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: grudzień 2011
  • Publikacja elektroniczna: 01-12-2011

Święta za pasem, więc przygotujmy się nieco do wieszania bombek na choince.

obrazek

Bryła ograniczona hiperboloidą jednopowłokową ma talię, ale nie jest wypukła.

Bryła ograniczona hiperboloidą jednopowłokową ma talię, ale nie jest wypukła.

Nasze bombki są kuliste – nie mają zaczepów, haczyków itp. Będziemy je wieszać za pomocą sztywnych obręczy z drutu w kształcie okręgu. Gdy bombkę uda się opasać obręczą w taki sposób, że nie można jej zsunąć, to cel będzie osiągnięty.

Niestety, bombce brakuje talii (jaką ma np. hiperboloida jednopowłokowa), wokół której da się ją skutecznie opasać. Możemy, oczywiście, wyciąć w bombce hiperboloidalną talię, nawet tak małą, że nikt ze świątecznych gości tego nie zauważy. Byłoby to jednak oszustwo, bo hiperboloidalna talia nie jest wypukła. Bombka z taką talią też by nie była, a na to nie chcemy się zgodzić!

Czy da się tak zdeformować bombkę, żeby pozostała wypukła i dała się skutecznie opasać? Czy istnieją wypukłe talie? Nie ufaj, Czytelniku, intuicji, jeśli podpowiada Ci, że nie, bo...

Talia może być wypukła

Do wykonania wypukłej talii potrzebne nam będzie potężne, ale proste w użyciu narzędzie teorii zbiorów wypukłych – operacja uwypuklenia, która każdemu zbiorowi math w przestrzeni przyporządkowuje zbiór math czyli najmniejszy zbiór wypukły zawierający math Uwypukleniem skończonego zbioru punktów jest wielościan (wypukły, oczywiście).

obrazek

Antygraniastosłup ma talię i jest wypukły.

Antygraniastosłup ma talię i jest wypukły.

Zbudujmy graniastosłup prawidłowy math-kątny o podstawach math  i math math Obróćmy podstawę math  o kąt math wokół osi graniastosłupa, otrzymując wielokąt math  i przyjrzyjmy się zbiorowi math  Otrzymaliśmy wielościan wypukły, którego ścianami bocznymi są trójkąty równoramienne. Jeśli ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to wielościan jest antygraniastosłupem. Środki jego krawędzi bocznych są wierzchołkami math-kąta foremnego i leżą wewnątrz walca wyznaczonego przez podstawy math  i math  (dlaczego?), a zatem okrąg na nich opisany ma krótszy promień niż promienie okręgów opisanych na podstawach wielościanu. To zaś oznacza, że skonstruowaliśmy wypukłą talię!

Wykonanie wypukłej bombki z talią jest teraz proste. Wystarczy wyciąć jej cienki plasterek z okolic równika, umiejętnie wkleić w to miejsce odpowiednią talię i uwypuklić to, co powstało! Jeśli dobrze dobierzemy parametry talii (wysokość i głębokość wcięcia), to otrzymamy bryłę bardzo podobną do kuli. Będzie, co prawda, kanciasta, ale przecież nie można mieć (albo nie mieć) wszystkiego naraz...

A teraz... zagadka z niespodzianką

Przy konstrukcjach geometrycznych, w których występują sparametryzowane obiekty, warto się czasem zastanowić, co się stanie, gdy parametry przyjmą wartości graniczne. Np. co będzie, gdy okrąg skurczy się do punktu math lub się wyprostuje math W przypadku konstrukcji talii parametrem jest liczba math ( math ) wierzchołków jej podstawy. Gdy math to talia math coraz bardziej przypomina walec i traci swoją taliowatość, by ją w granicy stracić całkowicie. Z tej strony zakresu parametrów nie znajdziemy nic ciekawego.

W talii math też nie ma nic szczególnego. Może się jednak zdarzyć, że stosunek długości krawędzi podstawy do krawędzi bocznej jest równy math Dolepmy wtedy do podstaw ostrosłupy, których krawędzie boczne mają długość krawędzi bocznej talii. Otrzymany w ten sposób wielościan wypukły z talią widujesz, Czytelniku, codziennie. Co to za bryła?.

To była zagadka, a gdzie jest niespodzianka? Żeby ją znaleźć, trzeba przekroczyć granicę. Wyobraźmy sobie, że math tzn. konstrukcję talii zaczynamy od „dwukątów” (czyli odcinków). Jeśli odległość odcinków dobraliśmy w taki sposób, że math jest antygraniastosłupem, to jest to wielościan wypukły z talią o sześciu krawędziach równej długości... Oto obiecana niespodzianka na Święta.