Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Jak to działa?

Zegar słoneczny, równania różniczkowe i ładne obrazki

Nie od dziś wiadomo, jak zbudować najprostszy zegar słoneczny. Słońce, w swym pozornym ruchu po niebie, porusza się ze stałą prędkością kątową w płaszczyźnie prostopadłej do osi wskazującej północny biegun niebieski...

obrazek

Rys. 1 Tarcza płaskiego zegara w Kętach math. Podziałka co godzinę.

Rys. 1 Tarcza płaskiego zegara w Kętach math. Podziałka co godzinę.

obrazek

Rys. 2 Tarcza płaskiego zegara w Hyderabadzie math.

Rys. 2 Tarcza płaskiego zegara w Hyderabadzie math.

obrazek

Rys. 3 Zmiana kąta w zegarze płaskim po obrocie Słońca o kąt math

Rys. 3 Zmiana kąta w zegarze płaskim po obrocie Słońca o kąt math

obrazek

Rys. 4 Inna tarcza zegara na biegunie.

Rys. 4 Inna tarcza zegara na biegunie.

Aby zagwarantować niezależność odczytów od wysokości Słońca nad horyzontem (czyli od pory roku), należy wycelować wskazówkę zegara (gnomon) w Gwiazdę Polarną, czyli pod kątem odpowiadającym lokalnej szerokości geograficznej math Jeżeli dodatkowo tarczę zegara umieścimy prostopadle do wskazówki, to cień wskazówki będzie obracał się jednostajnie i kolejne godziny możemy zaznaczać co math (oczywiście, mówimy tu o pomiarze lokalnego czasu słonecznego). Więcej w Delcie 8/2010.

Jeżeli chcemy, aby cień rzucany był po prostu na powierzchnię Ziemi (zegar horyzontalny), to równomierna podziałka działa tylko na biegunie. O ile w naszych szerokościach geograficznych, dajmy na to w Kętach math, tarcza zegara płaskiego nie wygląda źle (Rys. 1), o tyle w Hyderabadzie math zagęszczenie wokół południa jest już spore (Rys. 2). Pogarsza to czytelność zegara w tych godzinach i może prowadzić do nadmiernego rozwleczenia pory lunchu, ze szkodą dla gospodarki.

Łatwo sprawdzić, dlaczego tak jest. Ustalmy dla uproszczenia rachunków, że lokalne południe wypada w chwili math a lokalna godzina 18:00 w chwili math (to znaczy mierzymy czas prędkością kątową Słońca). Z rysunku 3 widzimy, że przesunięciu Słońca po niebie o kąt math odpowiada obrót cienia o kąt math przy czym

display-math(1)

Jeśli więc math (biegun północny), to math czyli cień obraca się jednostajnie i w zegarze poziomym można użyć równomiernej podziałki. Gdy kąt math maleje, spada także math a przez to kąt math zmienia się niejednostajnie wraz z  math

obrazek

Rys. 5 Kolejna tarcza na biegunie...

Rys. 5 Kolejna tarcza na biegunie...

obrazek

Rys. 6 ...i jej poprawiona wersja.

Rys. 6 ...i jej poprawiona wersja.

obrazek

Rys. 7 Utrzymując stałą prędkość, nie uda się „dociągnąć” do godziny szóstej.

Rys. 7 Utrzymując stałą prędkość, nie uda się „dociągnąć” do godziny szóstej.

obrazek

Rys. 8 Przykład zegara w Hyderabadzie...

Rys. 8 Przykład zegara w Hyderabadzie...

obrazek

Rys. 9 ...w Luksorze...

Rys. 9 ...w Luksorze...

obrazek

Rys. 10 …i w Kętach.

Rys. 10 …i w Kętach.

Ten efekt (lub defekt) można rekompensować, manipulując kształtem tarczy. Umówmy się, że godzinę odczytujemy na przecięciu cienia z krzywą wyznaczającą brzeg zegara. Najbardziej wymagający esteta (na przykład jeden z autorów tego tekstu) mógłby chcieć, aby pomiędzy każdymi dwiema chwilami math kraniec cienia pokonywał fragment tej krzywej o długości proporcjonalnej do math Powinno to pomóc rozładować lokalne „zagęszczenia”. Skoro pokonywana droga ma być proporcjonalna do czasu, to punkt odczytu musi przemieszczać się ze stałą prędkością. Wkraczamy tu w obszar geometrii różniczkowej krzywych. Jeżeli punkt przemieszcza się po płaszczyźnie tak, że w chwili math znajduje się w punkcie math to jego prędkość w chwili math ma wartość

display-math

co wynika z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do prędkości w kierunkach math(u nas zachód-wschód) i  math (południe-północ). Wiemy już, że w chwili math obwiednia każdego zegara musi przechodzić przez punkt odchylony od osi math  o kąt math  w takim razie jest opisana parametryzacją

display-math

Warunek stałej prędkości przyjmuje postać

display-math

Zakładając, bez straty ogólności, że math dochodzimy do równania

display-math

Czytelnicy zaznajomieni z zasadami różniczkowania funkcji trygonometrycznych mogą wyprowadzić z równania (1) wzór na math za pomocą którego dostaniemy ostatecznie równanie różniczkowe na promień math:

display-math(2)

Zanim wrócimy do Kęt i Hyderabadu, zatrzymajmy się nad tym równaniem na biegunie. Wtedy math  i szukamy funkcji math dla której

display-math

Taką własność ma niewątpliwie funkcja stała math co daje omawiany już zegar biegunowy o tarczy w kształcie okręgu. Nie jest to jednak jedyna możliwość! Możemy, na przykład, wziąć math otrzymując krzywą math Jest ona przedstawiona na rysunku 4 wraz z punktami, w których wypadał będzie cień w kolejnych pełnych godzinach. Jest to w istocie okrąg o środku math (proszę sprawdzić!). Co więcej, mogliśmy dokonać tego odkrycia, używając elementarnej geometrii (choć jeden z autorów tego tekstu nigdy by się o to nie podejrzewał). Wyjaśnienie znajduje się także na rysunku 4: skoro kąt wpisany zmienia się ze stałą prędkością, to także kąt środkowy zmienia się ze stałą, dwa razy większą prędkością, a więc punkt odczytu czasu obiega math jednostajnie. Możemy też wziąć dowolną kombinację

display-math(3)

Krzywe opisane tego typu promieniem to okręgi przechodzące przez punkt math jak na rysunku 5. Praktyczna przydatność takiego zegara stoi pod znakiem zapytania, bo niektóre godziny wskazuje nie sam cień, a raczej jego niewidoczne przedłużenie w przeciwną stronę od początku układu. Można temu zaradzić, biorąc symetryczne odbicie odpowiedniego fragmentu, co daje krzywą o stałej prędkości, ale nie wszędzie gładką (Rys. 6). Może jednak na biegun lepiej zabrać bardziej nowoczesny czasomierz.

To już wszystkie rozwiązania równania (2). Niekompletny szkic dowodu, którego szczegóły zainteresowany Czytelnik może uzupełnić we własnym zakresie, jest następujący: skoro math to, różniczkując, dostajemy math a więc math W takim razie albo math i  math jest stałą, albo math a wtedy math musi być postaci (3).

Wróćmy do szerokości geograficznych o nieco cieplejszym klimacie. Dla dowolnego math równanie (2) jest bardziej skomplikowane i autorzy nie znają żadnego jawnego wzoru na jego rozwiązanie math (może ktoś z Czytelników?). Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby znaleźć rozwiązanie numerycznie lub przybliżyć je eksperymentalnie, na przykład łamaną o stałej odległości między każdymi dwiema pełnymi godzinami. Możemy manipulować początkową wartością promienia math Gdy zaczniemy zbyt daleko od początku układu, rozwiązanie może istnieć tylko przez pewien czas, a potem krzywa nie będzie miała wystarczającego zapasu prędkości, aby nadążyć za coraz szybciej uciekającym cieniem (Rys. 7). Poniżej pewnej krytycznej wartości rozwiązanie równania istnieje bardzo długo, aż do godzin nocnych, gdy Słońca już dawno nie widać. Mamy też swobodę w łączeniu kilku gładkich fragmentów, jak w przykładzie na biegunie. Kilka ładnych zegarów o stałej prędkości cienia po brzegu tarczy przedstawionych jest na rysunkach 8-10.

Jedne z bardziej efektownych zegarów słonecznych znajdują się na budynkach, a więc na pionowych ścianach, i to niekoniecznie zwróconych na południe. Zainteresowanym Czytelnikom polecamy przeniesienie naszej konstrukcji np. na ścianę swojego domu.