Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Deltoid

w - k + s = 2

Joanna Jaszuńska

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: marzec 2016
  • Publikacja elektroniczna: 29 lutego 2016
  • Wersja do druku [application/pdf]: (56 KB)

Oznaczmy przez w ;k;s liczby odpowiednio wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu. W każdym wierzchołku schodzą się co najmniej trzy końce krawędzi i każda krawędź ma dwa końce, zatem |2k ⩾ 3w : Podobnie każda ściana ma co najmniej trzy boki, a każda krawędź należy do dwóch ścian, więc 2k ⩾ 3s: Ponadto jeśli wielościan jest wypukły, zachodzi wzór Eulera: w −k + s = 2:

Wzór ten zachodzi również dla spójnych grafów planarnych (więcej o tym w Deltoidzie 8/2011). Na stronie http://www.ics.uci.edu/ eppstein/junkyard/euler spisano 20 jego dowodów.

Można wykazać, że jeśli dodatnie liczby całkowite w, spełniają powyższe trzy warunki oraz w to istnieje wielościan wypukły o |w wierzchołkach, k | krawędziach i |s ścianach. Dowód tego i podobnych faktów opisano w Delcie 8/2015.

Zadania domowe